эпилог

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ БЕССОЗНАТЕЛЬНОЕ001

Приводимый здесь эпилог мое первое, написанное несколько лет назад обсуждение центральной идеи этой книги: неприятие мной дихотомии, при которой «выхолощенной» математике стереотипно противопоставляются виды деятельности, наполненные человеческими чувствами. В этой книге эта идея развивалась много раз в контексте геометрии Черепашки. В приводимом далее тексте читатель познакомится с размышлениями об источниках математических эмоций.

Я абсолютно убежден, что в нашей культуре красота математики и чувства, которые она вызывает, доступны лишь меньшинству, а возможно, ничтожному меньшинству представителей человеческой расы. Это убеждение возникло из размышлений о статусе теоретической позиции Анри Пуанкаре, которого следует ценить не только как одного из зачинателей математического мышления этого столетия, но и как одного из самых значительных авторов, писавших об эпистемологии математических наук. Позиция Пуанкаре резко отличается от господствующего в когнитивной и педагогической психологии взгляда на математику. Для Пуанкаре отличительной чертой математического ума является не логичность, а эстетичность. Он также считает, но это уже особый вопрос, что чувство эстетического у нас врожденное: одни люди рождаются со способностью совершенствовать в себе умение ценить красоту математики (эти-то люди и становятся теоретическими математиками), а другие такой способности лишены.

В этой работе теория Пуанкаре о математическом творчестве используется в качестве организующего начала при осмыслении взаимосвязи между логической и внелогической сторонами математики, а также между математическими и нематематическими видами человеческой деятельности. Не искушенные в математике и поднаторевшие в этой науке представители нашей культуры почти единодушны в дихотомическом разделении математических и нематематических видов деятельности. Позиция Пуанкаре, несомненно, интереснее, поскольку в одних отношениях он смягчает столь строгое разделение, а в других делает его еще более резким. Это разделение размывается, когда Пуанкаре отводит эстетическому началу в математике важную роль. Но принятие им постулата о специфически математическом эстетическом начале и особенно о врожденности этого начала обостряет различение математического и нематематического. Но так ли уж отличается математическая эстетика от других видов эстетического? Не сплетается ли она своими корнями с другими компонентами нашей эстетической системы? Связаны ли вызываемые математикой чувства с ее собственными принципами или же эти чувства возникают по тем же причинам, которые оживляют и любые другие периоды человеческой жизни? Отличается ли математическая интуиция от обычного чувства по своей природе и форме или же только по содержанию?

Эти вопросы глубоки, сложны и стары как мир. И я решился разобраться с ними в пределах небольшой работы, только определенным образом упростив их. Сначала я преобразовал эти вопросы в том же духе, как Жан Пиаже преобразовывал философские вопросы в психогенетические, на которых живительно сказываются экспериментальные исследования того, как думают дети. Поступая так, Пиаже часто раздражал или приводил в замешательство философов, но он тем не менее обогащал способы научного изучения мышления. Мое преобразование превращает теорию Пуанкаре из высокоматематического творчества в более земную, но и более управляемую теорию обычного математического (а, возможно, и нематематического) мышления.

Спуская его теорию на землю, я, вероятно, рискую упустить то, что сам Пуанкаре, по всей видимости, считал наиболее значительным. Но это позволяет мне сделать его теорию более доступной, возможно, даже чересчур доступной, психологам, педагогам и другим представителям нематематических профессий. Например, если в модели Пуанкаре вычленить содержательные элементы подлинного рассмотрения обычного математического мышления, то из этого может следовать, что математическое образование, практикуемое в наши дни, в целом неверно ориентировано и даже носит саморазрушающий характер. Если эстетике математического знания и уделяется в школе какое-то внимание, то она, скорее, является эпифеноменом, глазурью математического пирога, а не движущей силой, превращающей математическое мышление в функцию. Конечно, в широко распространенных психологических теориях математического развития (таких, как теория Пиаже) эстетическое начало и даже интуиция обычно упускаются из виду, основное внимание в них уделяется структурному анализу логических граней математического мышления.

Деструктивные последствия современного обучения математике можно также рассматривать и как парадокс меньшинства, по Пуанкаре. Тот факт, что школы и наша культура в целом очень далеки от совершенствования у детей врожденного эстетического математического чувства, подтверждает основной тезис Пуанкаре о важности эстетического начала в обосновании справедливости утверждения о меньшинстве, ведь согласно этому утверждению такое начало врождено. Даже если Пуанкаре прав, нетрудно видеть, как явная редкость математических талантов может быть легко объяснена без обращения к утверждению о врожденности.

Этих замечаний вполне достаточно, чтобы предположить, что приземленное преобразование теории Пуанкаре может сослужить хорошую службу педагогам, даже если мы что-то упустим в процессах, характеризующих работу мысли в большой математике. Но, возможно, такое преобразование окажется на пользу обоим мирам: не только педагогическому, но и математическому. Благодаря используемой здесь адаптации поддающееся опытной проверке обсуждение теории математического мышления может сразу же сопоставляться читателем с собственными мыслительными процессами. Разумеется, мы не отрицаем возможности, что математическая элита найдет сходство и со своим опытом. Более того, та часть теории Пуанкаре, которая воспринимается как наиболее значимая в контексте обычного мышления, во многом совпадает с современными тенденциями, определяющими, на мой взгляд, сдвиг в парадигме осмысления оснований математики. В заключительных абзацах моего «Эпилога» я поясню, в чем состоит это совпадение, на примере теории Бурбаки о структуре математики.

Моей ближайшей целью не является развитие высказанного тезиса с приведением россыпи формулировок и строгих доказательств, и, конечно, моей целью не является проверка корректности теории Пуанкаре. Я собираюсь вести содержательные рассуждения о математике (и в этом состоит мое второе существенное упрощение теории Пуанкаре), доступные восприятию математически подготовленного читателя и более непосредственно связанные с его опытом познания, принесшего ему радостные чувства. Основным препятствием к осуществлению моей цели является сильно преувеличенное, словно при меркаторской002 проекции поверхности Земли, когда полярные области оказываются настолько большими, что очертания северной Гренландии становятся внушительнее очертаний экваториальной Бразилии, представление о логической стороне математики. Таким образом, в своем рассуждении я стремлюсь различить и соотнести то, что я называю внелогической стороной математики, с ее логической стороной. Я опускаю различия, которые следовало бы провести внутри каждой из этих категорий. Красота математики, радость от занятий ею и даже математическая интуиция будут трактоваться почти одинаковым образом до тех пор, пока имеется в виду внелогическая сторона математики. Но вместе с тем мы не разделяем столь различные грани логического, как акцент сторонников формализма на процессах дедукции, редукционистская концепция Бертрана Рассела (с которой столь яростно сражался Пуанкаре) и множество теоретических семантик Альфреда Тарского. Эти логические теории могут не различаться до тех пор, пока дело касается внутренней, автономной стороны математики. Во всех этих теориях математика трактуется как самодостаточная, самоподтверждающаяся благодаря формально определяемому (т. е. математическому) критерию значимости, и все они игнорируют любую отсылку математики к чему-то внешнему ей. Разумеется, в этих теориях такие феномены, как красота и радость, обходятся стороной.

Не требуется теоретического напряжения, чтобы понять, что математические логики лишь игнорируют, но не отрицают внелогическую сторону математики. Никто из них не задается вопросом: реальна логическая сторона математики или же ее красота и доставляемые от занятий ею чувства? Пуанкаре подвергал сомнению возможность описать математическую деятельность, работу математика исключительно или даже преимущественно в логических терминах, без ссылки на эстетическое начало. Таким образом, сомнения Пуанкаре, перенеся рассуждения в сферу психологии, теории мышления, как таковые получили более широкий отклик, чем явно более специальная проблема понимания математического мышления. Его сомнения также подняли вопрос о правомерности выделения внутри психологии когнитивных функций, определяемых через их противостояние аффекту, ощущениям, чувству прекрасного.

Я целиком на стороне Пуанкаре, когда он возражает против «чисто когнитивной» теории математического мышления, но я чувствую необходимость сделать определенные оговорки, когда Пуанкаре рассуждает о крайней специфичности математики. Я должен обсудить еще один аспект теории Пуанкаре: понимание им природы и роли бессознательного.

Подобно тому как противопоставление эстетического и логического приводит к конфронтации теории Пуанкаре с когнитивной психологией, противопоставление бессознательного и сознания приводит к конфронтации этой теории с теорией Фрейда. Пуанкаре близок Фрейду, когда утверждает существование двух типов разума (сознания и бессознательного), каждый из которых подчиняется законам собственной динамики, каждый из которых выполняет различные функции с ограниченными возможностями вмешательства одного в деятельность другого. Как мы еще увидим, Пуанкаре весьма волновал путь, каким ищется решение проблемы, прежде чем это решение проявляется на уровне сознания в почти готовом виде, как если бы оно было уже получено в скрытой для сознания части мозга. Но бессознательное по Пуанкаре заметно отличается от бессознательного по Фрейду. Оно расположено вдалеке от дологических, связанных с сексуальностью первичных процессов и, скорее, напоминает эмоционально нейтральную, в высшей степени логичную комбинаторную машину.

Конфронтация этих представлений бессознательного возвращает нас к вопросу о природе самой математики. Логический взгляд на математику, по определению, означает отделенность, обособленность ее от тела, и она принимает законченный вид только благодаря внутренней логической чистоте и истинности. Такой взгляд больше соответствует нейтральному бессознательному по Пуанкаре, чем насыщенному динамикой и одержимому инстинктами бессознательному по Фрейду. Но сам Пуанкаре, как я уже отмечал, отвергает подобный взгляд на математику; даже если этот взгляд принять (что уже сомнительно, как образ завершенного математического продукта, он в целом неадекватен в качестве рассмотрения продуктивного процесса, в котором рождаются математические истины и структуры. В своей наиболее наивной форме логический образ математики — это дедуктивная система, в которой новые истины выводятся из уже выведенных истин посредством абсолютно достоверных правил вывода. Хотя менее наивный логический подход разрушить не так просто, существуют различные пути возможной критики подобного рассмотрения математики, логический подход несовершенен, хотя бы потому, что не в состоянии объяснить процесс выбора, определяющий способ вывода и то, что из него следует. Этот подход ошибочен в том отношении, что правила вывода, действительно используемые математиками, если применяются неосмотрительно, могут привести к противоречиям и парадоксам. В конечном счете этот подход не годится и в качестве описания фактического состояния дел в математике, поскольку в нем нет места для еще «не отлаженных» промежуточных результатов, на которые реальные математики тратят массу времени. Работа математика не идет по узкому пути от истины к истине, он стремительно или на ощупь пробирается сквозь окружающие его хляби утверждений, которые не являются ни абсолютно истинными, ни абсолютно ложными.

Специалисты по искусственному интеллекту наладили работу в первой из этих неотлаженных областей, формализовав, например, процесс постановки и порождения новых проблем как части работы по решению данной проблемы. Но если новые проблемы и правила их порождения выразимы в терминах логики, то в лучшем случае это может означать замену статической логики логикой динамической. Здесь не происходит замещение логики чем-то отличным от нее. Дело, однако, в том, что даже при работе над чисто логической задачей математик затрагивает процессы и решает проблемы, которые сами по себе не являются чисто логическими.

Метафора блуждания по хлябям истины, несмотря на свою неопределенность, в предельно острой форме выявляет одну фундаментальную проблему, возвращающую нас к рассуждениям Пуанкаре: проблему ориентации, или, так сказать, «навигации», в мире интеллекта. Если мы удовлетворены получившимися логическими следствиями, то по крайней мере нам гарантирована надежность процесса. Согласно Пуанкаре, математик руководствуется эстетическим чувством: выполняя свою работу, математик часто вынужден обращаться к утверждениям в той или иной степени ошибочным, но он никогда не принимает в расчет вс¨, что не соответствует его чувству математической красоты.

В теории Пуанкаре как эстетической ориентации математическая работа подразделяется на три стадии. На первой происходит неспешный анализ. Если проблема трудна, первая стадия, согласно Пуанкаре, никогда не заканчивается решением. Ее роль — выработка элементов, из которых решение может возникнуть. На стадии бессознательной работы математик временно отказывается от решения проблемы или прерывает его, чтобы оно вызрело, Пуанкаре предпочитает говорить о механизме вызревания проблемы. С точки зрения феноменологии прерывание вообще невозможно. Напротив, проблема очень активно прорабатывается на бессознательном уровне, на котором происходит непрерывная комбинация элементов, выделенных на первой, сознательной, стадии работы. За бессознательной стадией мышления не признается никаких особых возможностей, за исключением сконцентрированности на данной проблеме, систематичности производимых операций и недоступности ее скуке, отвлечению или смене целей. Результат бессознательно проделанной работы выводится на уровень сознания, и с этого момента обрывается всякая связь этого результата с тем, что недавно делалось. С феноменологической точки зрения в это время может произойти заметная дезориентация, поскольку завершенный фрагмент работы может всплыть в сознании в самый неподходящий момент.

Но как на бессознательном уровне мы узнаем, что настало время возвратиться на сознательный уровень? В этом случае, по Пуанкаре, срабатывает эстетический момент. Пуанкаре убежден, и эмпирические наблюдения подтверждают это, что всплывающие в сознании идеи не обязательно содержат правильное решение исходной проблемы. Отсюда он заключает, что на бессознательном уровне мы не способны строго определить, является ли идея правильной. Но идеи всплывают всегда, когда на них стоит печать математической красоты. В задачу третьей стадии работы по решению проблемы входит сознательная и строгая проверка результатов, полученных на бессознательном уровне. Эти результаты могут быть приняты, преобразованы или отвергнуты. В последнем случае бессознательное может снова вступить в действие. Мы видим, что в этой модели помимо сознательного и бессознательного постулируется третий агент. Этот агент работает наподобие фрейдовского цензора, отбирающего в меняющемся калейдоскопе неосознаваемых конфигураций только те, что удовлетворяют эстетическому критерию, и пропускающему отобранные конфигурации через ворота, разделяющие два уровня мышления.

Пуанкаре занимается описанием высот математического творчества, и ему в голову не приходит, что более простая математическая работа подчинена тому же динамическому процессу. Но, борясь с теорией математического мышления, нам не следует бросаться в другую крайность и выискивать хотя бы малейшее структурное сходство между процессом, каким он описан Пуанкаре, и образцами размышлений нематематиков, которых мы просили поработать над математическими задачами во время проводившегося в Массачусетском технологическом институте эксперимента «Поразмышляй вслух».

В этом эксперименте применялись методики, предназначенные для выявления продуктивного мышления (часто в областях типа математики, работу в которых наши испытуемые обычно обходили стороной), и они использовались таким образом, чтобы это мышление проявилось наиболее отчетливо. Приводимый ниже пример показывает, что возможно использование простейших типов эстетической ориентации. В эксперименте испытуемые явно использовали комбинаторику типа той, что Пуанкаре постулирует для второй стадии решения математической проблемы, но до тех пор пока получившийся результат не удовлетворял критериям, которые во многих, если не во всех, отношениях удовлетворяли требованиям эстетичного как логичного. Этот процесс ничем не отличался от описанного Пуанкаре, за исключением одного — он осуществлялся на сознательном уровне. Но его соответствие теории Пуанкаре можно обосновать многими путями: можно предположить, что в нашем случае число допустимых комбинаций было столь невелико, что не было необходимости перебирать их все на бессознательном уровне; а можно считать, что у наших испытуемых-нематематиков отсутствовало умение осуществлять подобную работу на бессознательном уровне. Во всяком случае этот пример (а в действительности это описание как целое), не совпадая с теорией Пуанкаре в деталях, хорошо поясняет понятие «эстетическая ориентация».

Задача, над которой мы просили поразмышлять наших испытуемых, состояла в доказательстве того, что корень квадратный из двух является иррациональным числом. Наш выбор задачи был удачным, поскольку эта теорема была отнесена английским математиком Г. Х. Харди003 к элементарным примерам математической красоты, а значит, эта задача представляет интерес в контексте обсуждения эстетического начала в неэлитарной математике и позволяет обнаружить, что люди с весьма скромным запасом математических знаний в состоянии решить эту задачу, если они работают в условиях эмоционального подъема, побуждающих их к поиску решения, даже если им не хватает математических знаний. Ниже приводится этап решения, через который прошли почти все наши испытуемые. Чтобы нам было легче понять этот эпизод, давайте предположим, что мы уже получили следующее уравнение:

= p/q, где р и q — целые числа.

Давайте теперь предположим, что мы действительно не верим, что может быть представлен таким образом. Обоснуем нашу уверенность, выявив какую-нибудь несуразность, а фактически противоречие, скрывающееся за этим непроницаемо невинным поверхностным впечатлением от этого уравнения. Очевидно, что нам надо заняться взаимодействием скрытого и явного содержаний. Какие шаги нам помогают в подобных случаях?

Почти все испытуемые действовали так, как если бы были знакомы с работами Фрейда, вовлекаясь в процесс математических «свободных» ассоциаций и пытаясь использовать различные способы преобразования уравнений этого типа. Более искушенным в математике испытуемым требовалось меньшее число попыток, но никто из испытуемых, по-видимому, не предвидел, куда могут завести его попытки. Вот некоторые примеры таких преобразований в той последовательности, в какой они были проделаны одним из испытуемых.

= p/q

× q = p

p = × q

= (p/q)2

2 = p2 / q2

p2 = 2 / q2

Все испытуемые, которые не просто выполняли задание, а были увлечены поиском решения, явно волновались, получив последнее уравнение. Это волнение не определялось пониманием (по крайней мере на уровне сознания), куда ведут эти преобразования. Волнение охватывало испытуемого раньше, чем он мог сказать, что собирается делать на следующем шагу, волнение охватывало и тогда, когда испытуемый не знал, что же делать дальше. Реакцию на p2 = 2q2 нельзя отнести к чисто аффективным. Насколько можно было судить по внешнему поведению, испытуемые почти не интересовались не только полученными ранее, но даже и исходным уравнением. Таким образом, в уравнении р2 = 2q2 усматривалось нечто очень специфическое. Что же это такое? Заметив, что уравнение явно вызывает эмоциональную реакцию, мы решили поразмышлять над ее источником. Какую роль играет в математике эмоция?

Конечно, занятия математикой часто сопровождаются положительными эмоциями, типа тех, что мы испытываем, достигнув после мучительной борьбы желанной цели. Но крайне маловероятно, что данное уравнение воспринималось в нашем случае как ведущее к цели. Если удовольствие вызывала достигнутая цель, то она была совершенно иной, менее формальной, я бы сказал, «более эстетичной», по своей природе, чем получение конкретного уравнения. Чтобы разобраться, в чем тут дело, необходимо было знать об испытуемых несколько больше, чем предполагалось в нашем эксперименте. Несомненно, эмоциональная реакция менялась от испытуемого к испытуемому и даже для каждого испытуемого определялась не одной причиной. Одни испытуемые явно задавались целью избавиться от квадратного корня, другие такой цели не ставили, но тем не менее радовались, когда им удавалось избавиться от знака корня. Третьи никак особо не реагировали на уравнение 2 = p2q2, пока не превращали его в уравнение p2 = 2q .

Мне думается, что элиминация знака корня в качестве очевидной, доступной инструментальной цели является лишь частью более сложной истории. Это событие отвечает сразу нескольким процессам, каждый из которых может оцениваться, а может не оцениваться на уровне сознания, может приниматься, а может не приниматься в качестве цели. Мне также думается, что все эти процессы подключены к эмоциям через другие, более специфические и даже более примитивные источники, чем такой обобщенный источник, как достижение цели. Чтобы конкретизировать свои размышления, я воспользуюсь двумя описаниями вызывающих эмоции процессов.

Первое описание лучше всего вести по аналогии с нашими последним рассуждениями об искусственном интеллекте. Исходное уравнение можно представить в виде ситуации с тремя действующими лицами, среди которых главным, или «испытуемым», лицом является . Другие два действующих лица, р и q, — это статисты, высказывающие нечто об «испытуемом» лице. Когда исходная ситуация преобразуется в p2 = 2q2, то соотношение действующих лиц резко меняется, как в случае восприятия младенцем игры в прятки, когда произносимое взрослым «ку-ку» помогает ребенку отыскать взглядом лицо играющего с ним человека. Теперь р становится «испытуемым» лицом, а исчезает. Не связано ли возникающее при этом удовольствие с тем же источником, который заставляет радоваться младенца, слышащего от взрослого «ку-ку»?

При другом описании удовольствие связывается с наблюдением, что исчезает не бесследно. В уравнении p2 = 2q2 присутствует 2! Однако эти два вхождения 2 в уравнения различаются по своим ролям примерно так же, как различается роль слова в каламбуре, или же возникающая ситуация в какой-то мере похожа на «конденсацию», в которой Фрейд усматривал фундамент эффективности остроумия. Привлекательность и правдоподобность этого суждения подкрепляется возможностью относить к «конденсации» многие математические ситуации. И в самом деле, основную идею абстрактной математики можно рассматривать как «конденсацию», поскольку «абстрактные» описания одновременно указывают на самые различные «конкретные» вещи. Не позволяет ли нам это предположить, что математика имеет гораздо больше общего с шуткой, мечтой и историей, чем это обычно признается?

Несомненно, нам грозит опасность слишком уклониться от особенностей p2 = 2q2, если мы начнем анализировать это уравнение вне его роли в достижении исходной цели, состоящей не столько в возбуждении чувства удовольствия от математики, сколько в доказательстве того, что — иррациональное число. Предшествующие рассуждения необходимо объединить с пониманием того, на каких действиях с p2 = 2q2 следует сосредоточить внимание, чтобы это уравнение превратилось в подцель основной цели доказательства теоремы. Как же нам объединить функциональное с эстетическим? Самый простой способ продвинуться в этом направлении для тех, кто видит высший смысл функциональной системы подцелей, в том, что она как перводвигатель запускает универсум суждений, относительно которых могут формулироваться подцели. Повышение в субординации, т. е. изменение роли р от статиста до солиста, одновременно является внутри соответствующей системы ситуационных ограничений правильно определенной подцелью, скажем, нахождения числового решения уравнения.

Теперь мы поведем речь о целях, которые, если отбросить их математическую специфику, имеют нечто общее с нематематическими ситуациями в жизни и в художественной литературе. В своем экстремальном выражении этот способ осмысления заставляет нас видеть в математике (и даже в ее частностях) нечто выходящее за пределы этой науки. Хотя действующими лицами остаются математические объекты, разворачивающийся сюжет описывается в новых терминах. Даже в менее экстремальных случаях можно пронаблюдать, как эстетическое и функциональное начала вступают в символическую связь, так сказать, взаимно эксплуатируют друг друга. Математическая функциональная цель достигается через игру с подцелями, сформулированными в иных, нематетических способах рассуждений, с подцелями, вытекающими из соответствующих внематематических способов познания. Таким образом, функциональное эксплуатирует эстетическое. Но в той же степени, в какой мы рассматриваем (в данном случае почти следуя Фрейду) математические процессы как находящиеся под воздействием внешних им процессов, истинно и обратное.

Эти размышления несколько увели нас в сторону от рассуждений о том, как эстетический страж Пуанкаре может быть примирен с существующими моделями мышления, обогатившись сам и обогатив эти модели. Но такая попытка примирения связана с фундаментальным вопросом о функциональной, эстетической и гедонической гранях не только математической, но и любой другой интеллектуальной деятельности. Что из содержимого каждой из этих граней может послужить на пользу других граней интеллектуальной деятельности? Не странно ли, что знания или принципы оценки, используемые вне математики, должны применяться в ней самой? Ответ дает генетическая теория математики. Если же исходить из платоновского (или логического) взгляда на эту науку, как существующую независимо от каких бы то ни было свойств человеческого ума или человеческой деятельности, то приходится отнестись к подобного рода интерпретациям как к крайне маловероятным. На оставшихся страницах я приведу еще несколько примеров того, что позволяет нам говорить о естественности связи математики с другими структурами человеческого ума. Мы начнем с обсуждения еще одного эпизода из истории с квадратным корнем из 2.

Наш разбор p2 = 2q2 был абсолютно не целенаправленным, поскольку мы говорили лишь об одной стороне дела, а именно о том, как это уравнение получилось, сознательно игнорируя, что это уравнение может дать для решения исходной задачи. Теперь мы исправим это и посмотрим, как это уравнение может помочь нам в обнаружении противоречия в нашем допущении, что = p/q. Существует несколько способов показать это. Из всех я выбрал два наиболее контрастных, взяв их из различных областей познания, эти области можно обозначить как «гештальтистская и атомистская» или как «единоразового озарения и пошагового рассуждения». Пошаговое рассуждение относится к более классическим областям познания (традиционно такого рода знание приписывается Евклиду), и ведется оно следующим образом. Из уравнения p2 = 2q2 следует, что р2 — четное число, а из этого следует, что p также является четным числом. По определению четного числа это значит, что p в два раза превышает какое-то целое число, которое мы обозначим как r. Итак:

p = 2r

p2 = 4r2

2q2 = 4r2, напомним, что р2 = 2q2 (!)

q2 = 2r2 ,

а это значит, что q — также четное число, что по меньшей мере странно, поскольку первоначально мы выбирали p и q таким образом, чтобы они не имели общего делителя. Тем самым мы получили противоречие.

Прежде чем комментировать эстетическую сторону этого процесса, мы разберемся с более необычным вариантом получения противоречия. Этот вариант связан с определенным восприятием целых чисел как выражаемых через ряд сомножителей, каждый из которых является простым числом. Например, 6=3×2, а 36 = 3×3×2×2. Если вы твердо усвоили этот способ выражения целого числа, то, возможно, вам нетрудно понять, что квадрат целого числа всегда представим в виде ряда четных чисел простых сомножителей. Если же вам не очень знаком такой способ представления целых чисел, то можете воспользоваться пошаговым рассуждением (например, таким: р = p1 p2 ... pk , а это значит, что p2 = p1 p1 p2 p2 ... pk pk ), но оно даже более атомистично и явно доставит вам меньше удовольствия, чем уже приведенная классическая форма доказательства. Но если вам понятно, почему квадрат целого числа всегда представим в виде четного числа сомножителей (или же вы научились понимать это), то вам столь же нетрудно понять абсурдность выражения p2 = 2q2, поскольку ряд, состоящий из четного числа простых сомножителей, приравнивается к ряду (q2 плюс добавочный сомножитель 2) с нечетным числом сомножителей, также представляющих собой простые числа. Таким образом, мы получили тот способ представления чисел, который позволяет сразу же (или так кажется в силу феноменологических причин) воспринимать эту абсурдность.

Хотя многое можно сказать о сравнительной эстетичности этих двух небольших доказательств, я хочу обсудить только те из граней красоты и удовлетворения, о которых говорили некоторые наши испытуемые. Многих людей волнует блистательность второго доказательства. Но если оно и привлекает своим остроумием и непосредственностью, то из этого вовсе не следует, что первое оставляет их равнодушными, поскольку в сущности оно является серийным (в том смысле, как я это понимаю). Напротив, имеется нечто весьма плодотворное в том способе, каким мы ухватываем и неумолимо проводим серийный процесс. Я не просто осознаю риторическую убедительность своих доводов для другого человека, хотя подобная убедительность является важным фактором для зрелищной стороны математики. Скорее, я осознаю, что требуются очень небольшие познания в математике для пошагового продвижения, но, как только вы начали свой путь, вы легко построите все доказательство.

Столь неизбежный процесс воспринимается самым различным образом и с самыми разнообразными чувствами. Для кого-то такой процесс ассоциируется с временным подчинением. Кто-то может воспринять его как отказ от себя в пользу математики или другого человека или как частицу себя в другом. Но для кого-то такой процесс никакое не подчинение, а бодрящее дух упражнение собственных возможностей. Любой из этих способов восприятия может сопровождаться ощущением чего-то прекрасного, вздорного, приятного, отталкивающего или пугающего.

Этих заметок, хотя они и не идут далее поверхности явления, вполне достаточно, чтобы усомниться в серьезности доводов Пуанкаре в пользу его веры во врожденность эстетического чувства математики и независимости этого чувства от других составляющих интеллекта. Здесь было предложено слишком много способов, при которых факторы, которые не рассматривает Пуанкаре, в принципе, могут оказать сильное влияние на восприятие индивидом математики как чего-то прекрасного или вздорного и на то, какого рода математика будет ему особенно нравиться или же раздражать его.

Чтобы более тщательно разобраться с этими факторами, давайте на время оставим математику и обратимся к примеру из весьма тонкой работы в области научной фантастики, к книге Роберта П¨рсига «Дзен и искусство ухода за мотоциклом». Перед нами философская новелла о различных способах мышления. Главный герой рассказывает о событиях, когда он и его друг Джон Сазерленд во время своего отпуска решили поехать на мотоциклах на восточное побережье Монтаны. За какое-то время до этой поездки Джон Сазерленд упомянул, что у его мотоцикла не все в порядке с рулевыми рукоятками, они не держатся в гнезде. Рассказчик вскоре решил заняться их починкой и предложил нарезать прокладки из алюминиевой банки из-под пива. «Я думал, что сказал нечто дельное»,— говорит он, описывая свое удивление реакцией Сазерленда, усомнившегося в дружелюбности намерений рассказчика. Сазерленду идея не показалась столь дельной, он усмотрел в ней какой-то подвох. Рассказчик объясняет: «Я имел нахальство предложить починить его новый, стоивший восемнадцать сотен долларов мотоцикл марки BMW, это полувековое чудо немецкой техники куском старой банки из-под пива!». Но рассказчик не видит в этом ничего плохого, напротив: «Алюминий, из которого делаются банки для пива, мягок и легко приклеивается. Он вполне подходит для починки... другими словами, любой истинно немецкий механик со всеми своими полувековыми чудесами техники нашел бы правильным это решение технической проблемы». Различие в суждениях грозит разрывом дружеских отношений и накаляет страсти. Дружбу спасает лишь молчаливый договор никогда больше не возвращаться к проблеме ухода за мотоциклами и их починке, только после этого друзья примирились настолько, что смогли начать описанное в той книге совместное и долгое путешествие на мотоциклах.

Реакция Сазерленда не имела бы отношения к нашей проблеме, если бы свидетельствовала о глупости, невежестве или же об идеосинкразии к подручным средствам в решении проблемы починки. Но эта реакция связана с более глубинными процессами, чем только что перечисленные. Заслугой П¨рсига является то, что он продемонстрировал нам общую зависимость многих таких инцидентов. Особенно важно, что П¨рсиг умеет воздействовать на эмоции. Он знакомит нас с материалом столь богатым, что мы можем использовать его, опираясь на внутреннюю связь, в ситуациях, которые сильно отличаются от рассказываемых самим П¨рсигом. Здесь я коснусь вкратце двух аналогий между историей с Сазерлендом и куском прокладки и вопросами, которые обсуждались в связи с математикой: во-первых, отношения между логическим и эстетическим в осмыслении математики и мотоциклетных проблем; во-вторых, прерывающихся и непрерывных линий между математикой или мотоциклами и всем остальным.

Из инцидента с куском прокладки и из многого того, что рассказывается в той книге, становится ясно, что у каждого из персонажей П¨рсига сложились собственные представления о неразрывной связи человека, машины и естественного окружения, и эти представления оказывают сильное воздействие на их эстетические оценки. Для рассказчика мотоцикл неотделим от мира не только банок из-под пива, но и вообще любого металла как субстанции. В этом мире сущность металла не сводится к частным его воплощениям в мотоцикле или банке из-под пива. Для Сазерленда, наоборот, эта неразрывность не просто нечто невоспринимаемое, у него сложилось сильное стремление в утверждении границ там, где рассказчик видит лишь внешне различные проявления одной и той же субстанции.

Для Сазерленда мотоцикл — это мир, отделенный не только от мира банок для пива, но и от мира других машин, фактически то, что он ввязывается в конфликт из-за какой-то жестянки, свидетельствует о стремлении избегать контактов с техникой. Мы могли бы глубже проанализировать влияние на этих двух персонажей их завязанности на различные типы сообществ. Рассказчик принадлежит к индустриальному обществу (он работает в компании, производящей компьютеры), и он усиленно занят поисками социальной идентификации (наподобие того, как он отыскивает сущность металла) в смысле поисков субстанции, скрывающейся за частной формой его существования. Подобно ковкому металлу, он не весь на виду, и то, что скрыто, возможно, лучше, чем навязываемые ему формы поведения. Разумеется, рассказчик не мыслит себя человеком, пишущим инструкции к пользованию компьютерами. С другой стороны, его друг Сазерленд — музыкант, и многое в его работе определило его способы осмысления себя по тому же типу, каким он мыслит мотоцикл как мотоцикл, а банку для пива как банку для пива.

Нам нет необходимости продолжать обсуждение вопроса о существенном и случайном, чтобы выявить один важный пункт, который повсеместно упускается из виду: если даже предпочитаемые способы ухода за мотоциклом столь причудливо переплетаются с нашей психологией и социальной идентификацией, едва ли можно ожидать, что в случае с математикой такое переплетение окажется менее причудливым004.

Эти идеи о взаимосвязи математической работы с личностью в целом в этой книге пояснялись, когда речь шла о геометрии Черепашки, и они используются при программировании на языке ЛОГО. Проводившиеся при этом эксперименты подтверждали справедливость критического отношения к школьной математике (которое наряду со старой в не меньшей мере применимо к так называемой новой математике). Описание традиционной школьной математики в соответствии с разрабатываемыми в этой книге понятиями выявило педагогическую несостоятельность ее деперсонифицированного, чисто логического, формального представления. Хотя мы можем засвидетельствовать исторические успехи школьных учителей математики (учителей, занимающихся по новой программе математики, обучают рассуждать на уроках в терминах «понимания» и «открытия»), проблема остается, поскольку математике продолжают обучать.

В геометрии Черепашки мы создали среду обучения, в которой перед детьми не ставится задача выучить множество формальных правил, но у них развивается достаточная способность осознания способов, какими они движутся в пространстве, и это позволяет им перенести знания себя в программы, обусловливающие движение Черепашки. Поскольку читатель этой книги уже хорошо знаком с потенциальными возможностями этого кибернетического животного, я хотел бы только напомнить о двух тесно взаимосвязанных аспектах геометрии Черепашки, которые имеют непосредственное отношение к затрагиваемым в этом «Эпилоге» проблемам. Первый связан с развитием математики, синтонной нашему «я», а в действительности, синтонной нашему телу; второй связан с созданием такого контекста математической работы, в котором область эстетического (даже в наиболее узком смысле этого слова область «привлекательного») постоянно находится на переднем плане.

Мы приведем единственный пример, поясняющий, что имеется в виду под обоими аспектами. В этом примере разбирается типичная проблема, возникающая, когда ребенок учится геометрии Черепашки. Ребенок уже научился отдавать команды Черепашке, чтобы она продвигалась вперед и поворачивалась вокруг своей оси направо или налево на определенное число градусов. Используя эти команды, ребенок пишет программы, которые обусловливают движение Черепашки по прямым линиям. Рано или поздно ребенок задается вопросом: «Как я могу заставить Черепашку нарисовать круг?» В среде обучения ЛОГО ответа на этот вопрос не дается, но учащегося поощряют воспользоваться в поисках решения собственным телом. Ребенок начинает двигаться по кругу и обнаруживает, что при этом движении он все время слегка продвигается вперед и слегка поворачивает. Теперь ребенок знает, как заставить Черепашку нарисовать круг: нужно отдавать Черепашке те же команды, которые он давал бы себе, двигаясь по кругу. Выражение «слегка продвинуться вперед и слегка повернуть» переводится на язык Черепашки как ПОВТОРИТЬ [ВПЕРЕД 1 ПОВЕРНУТЬ НАПРАВО 1]. Таким образом мы получаем процесс геометрического обоснования, синтонный как нашему «я», так и нашему телу. Как только ребенок узнает, как получить на экране дисплея круг, перед ним открывается возможность передачи неограниченной палитры форм, очертаний и движений. Вот почему открытие, как рисуется круг (и, конечно, кривая), оказывается поворотным пунктом способности ребенка получать эстетическое удовлетворение от занятия математикой.

В только что приведенном тексте эстетическому моменту отдается должное, хотя математика, синтонная нашему «я», была создана совсем недавно. Это, разумеется, неслучайно и в действительности может рассматриваться как реализация неоднократно повторявшейся в этом «Эпилоге» мысли, что математика для математиков — глубоко личностное занятие. Столь же не случайно, что мы предназначили детям свою синтонную «я» математику. Мы просто дали детям способ заново освоить то, что ими уже освоено. Большинство людей не ощущают себя личност-но включенными в математику, поскольку, как и в случае с детьми, она не создается ими самими. Работы Жана Пиаже по генетической эпистемологии учат нас, что с первых дней жизни ребенок начинает извлекать математические знания из взаимодействия собственного тела с окружающей средой. Дело, однако, вот в чем: входит в наше намерение или нет сохранить обучение математике, которое традиционно ведется в школах, как процесс забывания детьми их естественного математического опыта и усвоения нового множества правил?

Тот же самый процесс забывания внелогических корней еще совсем недавно доминировал в академических трудах по истории математики. В начале XX столетия формальная логика считалась синонимом оснований математики. Но после того как Бурбаки была создана теория структур, мы смогли уяснить себе внутренние законы развития математики и тем самым как бы «вспомнили» о генетических корнях этой науки. Такое «воспоминание» открыло перед математикой возможность исследований, самым непосредственным образом связанных с тем, как дети конструируют свою реальность.

В результате всех этих недавних событий и тех, которые несколько раньше произошли в когнитивной и возрастной психологии, математика оказалась на пороге нового периода своего развития, суть которого в афористичной форме выразил Уоррен Мак-Каллок (см. главу 7, с. 164), сказавший, что ни математика, ни человек не могут быть полностью поняты, будучи отделенными друг от друга.



001 Я хотел бы поблагодарить издательство MIT Press за разрешение перепечатать эту работу, первоначально вышедшую под названием «Пуанкаре и математическое бессознательное» (см. Papert S. Poincare and Mathematical Unconscmus // J. Wechsler (ed.) Aesthetics in Science Cambridge, Mass., 1978). Я также хотел бы поблагодарить Юдифь Весклер за ее поддержку в написании этой работы, после того как я прочел на эту тему лекцию в одной из аудитории Массачусетского технологического института, и за многое другое также.

002 По имени жившего в XVI веке фламандского картографа Меркатора (ван Кремера) Герарда, предложившего цилиндрическую равноугольную проекцию карты мира. В морских картах эта проекция используется и в наши дни. - Примеч. ред.

003 Харди (Hardy) Годфри Харолл (1877 - 1947) в 1924 г. был избран иностранным членом-корреспондентом Российской академии наук, а в 1934 г. - иностранным почетным членом АН СССР. Основные работы по теории чисел и теории функций. - Примеч. ред.

004 Последующий текст был мною переработан как завершающий данную книгу.