Глава 6

ПЛОДОТВОРНЫЕ ИДЕИ В ПОРЦИЯХ, СОРАЗМЕРНЫХ УМУ


«Мне нравятся ваши микромиры, но физика ли это?

Я бы не сказала, что нет. Но как мне убедиться в том?»

Учительница


Общепринятое различение двух способов познания часто перс дается терминами «знание — что» и «знание — как» или «пропозициональные знания» и «процедурные знания», или еще «факты» и «навыки». В этой главе мы поговорим о некоторых из многих видов знаний, которые не сводимы ни к одной из таких терминологических дихотомий. Важным примером из повседневной жизни являются: знание человека, знание места и знание собственные настроений. В логике темы наших рассуждений об использовании компьютера для выявления связи научного знания с личностным мы теперь рассмотрим способы, при которых научное знание приближается к знанию человека, а не к знанию факта или к владению навыком. И в этом случае мы поступим по аналогии с ситуацией, когда использовали Черепашку для наведения мостов между формальной геометрией и геометрией тела ребенка. И в этом случае нашей целью является разработка условий для более синтонных типов учения, чем предпочитаемые в традиционных школах. В предыдущих главах мы часто использовали парадоксальные факты: большинство людей относят математику к малодоступным типам знаний, но именно такая математика доступна большинству детей. В этой главе мы рассмотрим способы, при которых мышление детей приближается к тому, что обычно связывается с реальным, а не школьным естествознанием, не имеющим ничего общего с мышлением ни детей, ни ученых. И еще мы поговорим о двойной парадоксальности способов, какими компьютеры влияют на сложившееся состояние дел. Компьютеры могут избавить нас от этих парадоксов, но, используемые обычным способом, они лишь усугубляют их, закрепляя парадоксальные способы осмысления знаний, осмысления школьной математики и естествознания.

Искушенные в математике взрослые, говоря о важности опыта учения, пользуются определенными метафорами. Они говорят об умении уловить идею, о разведывательных работах в какой-то области знания, о развитии чувствительности к различиям, которые еще совсем недавно казались непостижимо тонкими.

Я не сомневаюсь, что подобные метафоры весьма точно передают способ учения детей. Но когда я попросил старшеклассников рассказать, что они понимают под учением, то они заговорили со мной на абсолютно ином языке, делая упор на фактах, которые выучили, и навыках, которые усвоили. Совершенно очевидно, что школа формирует у учеников специфическое представление об учении. И я уверен, что это представление формируется благодаря не только разговорам, но и практике.

Навыкам и разрозненным фактам легко обучать контролируемыми дозами. Их нетрудно измерить. И разумеется, гораздо легче наставить кого-то овладеть навыком, чем проверить, удалось ли вашему ученику «уловить идею». Не удивительно, что школы придают особое значение овладению навыками и знанию фактов и что у учеников складывается представление об учении как «учении — что» и «учении — как».

Работа в микромирах Черепашки является моделью того, как «уловить идею», о способах познания человека. Ученики, работающие в подобной среде обучения, разумеется, знакомятся с фактами, делают обобщающие суждения и овладевают навыками. Но они учатся не столько запоминать факты и практиковаться в навыках, сколько познавать Черепашку, исследуя, что она может делать и чего не может. Это, скорее, напоминает действия из повседневной жизни детей, скажем, такие, как делание в песочнице куличиков и проверка родительского терпения, они-то и есть компоненты улавливания идей. Учителя, хотя не всегда осознают это, часто создают ситуации, в которых требуют, чтобы дети действительно уловили суть того или иного понятия. Но в ситуации с Черепашкой все происходит иначе: дети могут размышлять и сознательно выбирать тот тип учения, который в наиболее удобной для них форме познакомит их с математикой и физикой. И как мы уже отмечали, тип учения, который предпочитают дети, более напоминает матетическую практику искушенных в учении взрослых. Черепашка в любых своих модификациях (напольная, дисплейная и Диначерепашка) может выполнить необходимые функции, поскольку она воплощает в себе свойства антропоподобного объекта и плодотворные математические идеи. В качестве модели изучения математики и естественных наук она резко контрастирует с упоминавшейся в главе 3 методологией учения пятиклассника Билли, рассказавшего мне, как он пытался выучить таблицу умножения, представив ее в виде бланка, строчку за строчкой которого он старался воспроизвести вслух.

Для меня знакомство с какой-либо областью знаний (скажем, ньютоновой механикой или гегелевской философией) во многом напоминает вхождение в новое сообщество людей. Порой оно сразу же подавляет обилием незнакомых и плохо различаемых лиц. Постепенно мы учимся различать эти лица. В других ситуациях чисто случайно мы быстро сходимся с одним или двумя людьми, с которыми и строим свои дальнейшие отношения. Такой узконаправленный выбор может определяться интуитивным ощущением «интересного» человека, а может происходить оттого, что кто-то сумел дать достаточно полное представление о новых для нас людях. Точно так же мы, начиная свое знакомство с новой областью знаний, сталкиваемся с обилием новых идей. Умеющий учиться в состоянии выбрать среди этих идей наиболее плодотворные и конгениальные его личности. Менее опытные учащиеся нуждаются в помощи учителей и друзей. Но нам не следует забывать, что всякий хороший учитель должен выступать в роли товарища, помогающего познакомиться с новой областью, а всю работу по улавливанию идеи или пониманию личности другого человека проделывает сам учащийся Каждый должен сам овладевать навыками по усвоению знаний и делать это в присущем только ему стиле.

Здесь мы воспользуемся примером из физики, чтобы лучше oценить представление об областях знаний как сообществе плодотворных идей, и тем самым мы продвинемся еще на один шаг в понимании эпистемологии плодотворных идей. Микромиры Черепашки поясняют несколько обобщенных стратегий помощи новичку, начинающему поиск друзей в этом сообществе идей. Первая стратегия состоит в обеспечении уверенности у учащегося, что он владеет моделью для данного типа учения, работа с Черепашкой помогает ему в этом. Эта стратегия не означает, что всем знаниям должна быть придана форма, отвечающая особенностям Черепашки, или что все знания должны быть изложены в терминологии, принятой для компьютеров. Суть в том, что первый опыт работы с Черепашками является хорошим способом «уловить», на что похоже изучение формального предмета, когда начинаешь «улавливать» его плодотворные идеи. Я использовал этот момент в главе 2, когда предположил, что геометрия Черепашки могла бы стать блестящей областью деятельности для знакомства учащихся с эвристическими идеями Пойа. Это не означает, что овладение эвристическим мышлением зависит от черепашек или компьютеров. Как только идеи Пойа «уловлены», их можно применять к другим областям (и даже к арифметике). Наши рассуждения в главе 4 были построены на предположении, что теоретическая физика может послужить хорошим передатчиком важных метазнаний. Если это так, то одним из главных следствий является изменение присущего нашей культуре взгляда на роль этой науки в жизни детей. Мы могли бы относиться к этой науке не только как к предмету, знакомство с которым помогает лучше понять мир вещей, но и как к предмету, дающему в руки детей способ лучше управлять собственными процессами учения.

Для некоторых людей физика в качестве модели того, как анализировать проблемы, является синонимом чисто количественного, формалистического подхода. И действительно, рассказ о том, что произошло, когда такие дисциплины, как психология и социология, воспользовались физикой в качестве модели, часто имеет плохой конец. Но существуют значительные различия в способах использования физики. Физика, оказавшая столь губительное воздействие на социальные науки, делала акцент на позитивистской философии науки. Я же говорю о типе физики, которая вставляет нас скептически отнестись к позитивистскому взгляду на науку как на множество истинных утверждений, касающихся фактов и законов. Пропозициональное содержание науки, разумеется, очень важно, но оно представляет лишь часть физических знаний. Исторически не оно возникло первым, оно не является и той частью, которая в процессе учения усваивается прежде всего, и, конечно, оно не является той частью, которую и предлагаю в качестве модели для рефлексии собственного мышления Мы заинтересованы в знаниях скорее качественных, менее специальных и редко выражаемых в пропозициональной форме. Если ученикам такие уравнения, как f = ma, E = I2R или PV = RT, предъявляются в качестве модели составляющих физику знаний, то дети оказываются в положении, когда в своей голове они не могут найти ничего такого, что бы они могли признать за физику.

Мы уже видели, что подобные ситуации ставят под угрозу осознание себя учащимися. Дети вступают на дорогу, лишенную ассоциативных связей с учением. Они вступают на дорогу, которая приведет их к оценке себя как не способных к изучению физики. Совсем иное чувство того, с какого рода знаниями имеет дело физика, возникает у них при работе с Черепашками. Здесь ребенок, даже если он осваивает маленький фрагмент, сталкиваясь с абсолютно неспециализированными, качественными знаниями (скажем, такими, как «эти Черепашки понимают только меняющуюся скорость»), может сам с ними что-либо проделать. Фактически он или она могут начать работу над концептуальными проблемами, которых студенты колледжей боятся как чумы. Фрагмент из данной области знаний может использоваться даже без количественного уточнения скорости! Это и есть тот тип интуитивных и неформальных, но очень часто весьма плодотворных идей, которыми напичканы наши головы, независимо от того, являемся мы детьми или физиками.

Такое использование компьютера, при котором создается возможность поупражняться в качественном мышлении, весьма отличается от стандартного использования компьютера на уроках физики в старших классах. При стандартном использовании закрепляется количественная сторона физических знаний, поскольку компьютер позволяет производить более сложные вычисления. Таким образом, отмеченный нами парадокс отчасти сохраняется, а использование новых технологий лишь закрепляет педагогические методы, воплотившие в себе ограниченность докомпьютерного периода. Как уже упоминалось, требование повторений и практики при обучении арифметике считается признаком условий, не синтонных изучению математики. Простое использование компьютеров эти условия закрепляет. Когда компьютеры используются, чтобы избавиться от симптомов плохо го владения арифметическими подсчетами, эти устройства лишь закрепляют привычку к лишенному ассоциаций учению. И эта привычка, распространившаяся на многие области нашей жизни, гораздо более серьезная проблема, чем слабое владение арифметикой. Такое избавление от симптомов может быть даже опаснее самой болезни.

Аналогические рассуждения применимы и к физике. При традиционном обучении этой науке чрезмерная заостренность на количественной стороне во многом определялась технологией обучения с помощью карандаша и бумаги, когда предпочтительнее работать, приходя к определенному «ответу». Эта технология подкрепляется системой обучения с использованием кабинетом физики, в которых проводятся эксперименты, подтверждающие, не подтверждающие или «открывающие» уже известные соотношения. Такое обучение сильно затрудняет ученику поиск пути для конструктивного объединения своей интуиции и формальных методов. Каждый слишком сосредоточен на следовании напечатанным в книге рецептам. Опять-таки, как и в случае с арифметикой, компьютер необходимо использовать для разрешения этой фундаментальной проблемы. Однако, будучи одновременно разворачивающимся процессом, упрочившееся представление о количественном характере школьной физики и упрочившееся представление о характере компьютеров подкрепляют друг друга. Компьютер используется так, что и без того чрезмерно количественные методики проведения уроков физики только усиливаются. Как и в случае с арифметикой, упражнения и практика, для которых используется компьютер, несомненно, в чем-то улучшают деятельность детей, получая тем самым одобрение проверочных комиссий и учителей, не имеющих возможности сравнить такое применение с чем-то лучшим. Тем не менее в этой книге разработаны все элементы менее количественного подхода к использованию компьютеров в образовании. Теперь мы обратимся к проблемам, которые может породить сдвиг в этом направлении у серьезных учителей физики.

Реплика, приведенная в начале этой главы, была произнесена с горечью учительницей, которой явно нравилось работать с Черепашками, но которая не могла примириться с тем, что такая работа называется занятием физикой. Эта ситуация выявляет вечную дилемму, с которой сталкивается всякий, кто намерен совершить радикальный переворот в образовании. Всякий переворот связан с новыми идеями. Я уже говорил, что мы должны быть подготовлены к восприятию коренной перестройки понятийного аппарата классических областей знания. Но насколько далеко такая перестройка имеет право зайти? Образование неотделимо от традиций. Например, работа, которую союз английских учителей ведет со своими учениками, должна осуществляться на языке и на материале литературы так, как это сложилось исторически. Учителя пренебрегли бы своими обязанностями, если бы вместо традиционного начали использовать новый язык, создали бы свои варианты поэтических произведений и приобщали бы новое поколение вместо традиционных к этим, ими созданным реалиям. Поэтому проблема учителя, обеспокоенного тем, является ли работа с Черепашками подлинным изучением физики, весьма серьезна.

Не напоминает ли работа с Черепашками вписывание Шекспира в более легкий и искусственный жанр литературы? Но знакомятся ли наши студенты с интеллектуальной продукцией Галилея, Ньютона и Эйнштейна или просто с оригинальными изобретениями, которые не отмечены ни печатью величия, ни временем? Этот вопрос связан с фундаментальными проблемами, в том числе и с такими, как: что есть физика? В чем состоит возможное влияние вычислительной техники на понимание этой науки?

Большинство создателей учебных программ легко ответят на эти вопросы. Они определят элементарную физику как ту, что изучают в школах. Порой они используют в программах для старших классов школы материалы, обычно изучаемые в колледжах, или заменяют устаревшие темы более новыми. Например, в школьном учебнике рассказывается об элементарных частицах и о принципе работы ядерного реактора. Даже разработчики экспериментальных программ находятся в плену системы понятий, определяемой уравнениями, количественными законами и лабораторными экспериментами. Только в этой системе понятий они чувствуют уверенность в том, что действительно обучают физике. Открываемая компьютером возможность деятельности нового типа и нового отношения к теоретическим идеям поднимает проблему ответственности за передачу культурного наследия. Но я, понимая всю серьезность этой проблемы, не могу не сознавать, что не решаю ее, когда ссылаюсь на существующие учебные программы. Никто не сможет воспользоваться этим аргументом без серьезного рассмотрения вопроса: не находится ли школьная наука в положении воображаемого учителя английского языка, который обучает суррогатным формам английской речи только потому, что они кажутся ему более доступными для обучения? Я убежден, что это тот самый случай.

В главе 5 я рассуждал о том, что скорее школьная физика, а не физика Черепашки не отвечает духу подлинной физики. Теперь я продолжу свои рассуждения, рассмотрев те компоненты физики, которые хотя бы отчасти затрагиваются при работе с Диначерепашками, но никак не рассматриваются в традиционных учебных программах. Имеются в виду весьма общие, обычно качественные, интуитивные представления, или «рамки», используемые физиками для осмысления проблем, прежде чем они оказываются готовыми решать, какого рода количественные принципы следует применять.

Я прошу читателя, не знакомого с качественным способом осмысления физики, внимательно проследить за воображаемой беседой двух великих физиков.

Не один миллион студентов вырос с убеждением, что Галилей опроверг расчеты Аристотеля, что время падения тела на землю прямо пропорционально его весу, бросая с Пизанской башни пушечные ядра. Эксперимент Галилея строился на предположении, что тяжелые и легкие пушечные ядра должны упасть на землю одновременно, не считая незначительных отклонений из-за сопротивления воздуха. На самом деле крайне маловероятно, чтобы Галилей вообще проводил такой эксперимент. Но независимо от того, проводился или нет такой эксперимент, более интересно то, что сам Галилей ни на секунду не сомневался в его исходе. Чтобы ухватить суть того типа мышления, которое придало Галилею уверенность в своей правоте, воспользуемся воображаемым диалогом двух персонажей — ГАЛа и АРИ.

ГАЛ. Разберемся, нет ли в твоей теории ошибки. Возьмем двухфунтовое и однофунтовое ядра. Двухфунтовое ядро достигает земли за 2 с. Скажи мне, сколько на это потребуется времени однофунтовому ядру?

АРИ. Я думаю, что 4 с, во всяком случае больше, чем 2 с.

ГАЛ. Я запомнил, что ты сказал. Но теперь, пожалуйста, ответь на еще один вопрос. Я бросаю два однофунтовых ядра вместе. Сколько времени понадобится этой паре, чтобы достичь земли?

АРИ. Но это все тот же вопрос. По-моему, раз однофунтовое ядро падает 4 с. и каждое из ядер падает независимо, а значит, оба будут падать столько же времени, сколько каждое по отдельности

ГАЛ. Ты утверждаешь, что два тела — это два тела, а не одно.

АРИ. Да... разумеется.

ГАЛ. Но если я положу их в легкую сетку... это будут два тела или одно? Достигнет оно (или они) земли за 2 с или за 4 с?

АРИ. По правде говоря, я смущен. Мне надо подумать... Это одно тело, но тогда оно должно падать на землю 4 с, причем тончайшие нити сетки должны медленно опускаться, а железные ядра — стремительно лететь вниз. Это невозможно. Но если я скажу, что это два тела... Меня такой ответ смущает еще больше. Что же в таком случае считается телом? Как еще узнать, в каких случаях одно тело превращается в два? А если мне это неизвестно, то как я могу быть уверен в справедливости своих законов о падении тел?

В строго логическом смысле рассуждения АРИ не совсем выдержаны. Теорию АРИ можно дополнить. Например, можно предположить, что время падения зависит не только от веса, но и от формы тела. Это означало бы, что двухфунтовое тело, состоящее из двух однофунтовых ядер и сетки, падает более медленно, чем двухфунтовый железный шар. Фактически доводы ГАЛа опровергаются расширенной теорией АРИ, и весьма вероятно, что в историческом плане великая традиция аристотелевского способа осмысления реальности подкреплялась такого рода аргументами. Но не существует единственного аргумента, который сам по себе мог бы опровергнуть Аристотеля, для которого теория падающих тел была только элементом взаимосвязанных идей. Но как только галилеевский способ осмысления был запущен в обращение, аристотелевская система стала ошибочной. Действительно, я утверждаю, что рассуждения этого рода, как противостоящие рассуждениям, более связанным с точными фактами и уравнениями, занимают важное место в эволюции мышления, не только на исторической шкале развития науки, но и на шкале личностного развития учащегося.

АРИ было бы проще отстаивать собственные позиции, если бы ГАЛ апеллировал в своих рассуждениях к конкретным фактам или подсчетам, которые легко обойти, оговорив условия их применимости, так мы ограждаем себя от возможных возражений. Несокрушимость доводов ГАЛа определяется тем фактом, что они апеллируют к собственной интуиции АРИ о природе физических тел и о неразделимости физических явлений (легчайшие нити сетки и стремительно летящее вниз железо). С логической точки зрения эти доводы выглядят не столь убедительно, но как существ сопереживающих нас эти доводы смущают, так же как они смутили АРИ.

Задаваемые в приведенном диалоге вопросы, несмотря на их простоту, многому учат нас. Прежде всего, мы замечаем, что ГАЛ не просто умнее АРИ, он знает нечто, что АРИ неизвестно. Фактически, если внимательно присмотреться к тому, что говорит ГАЛ, то можно заметить, что он искусно разворачивает несколько плодотворных идей. Наиболее поражающей является его принципиальная идея о двухфунтовом теле как состоящем из двух однофунтовых тел, его рассмотрение целого как состоящего из частей, на которые мы подразделяем его. Говоря абстрактно, эта идея провозглашает вещи, тривиальные для одних контекстов и ложные для других, если вспомнить утверждение, что «целое — это нечто большее, чем сумма своих частей». Но мы не уверены, можно ли этим утверждением воспользоваться в качестве критерия истинности или ложности. Оно всего лишь идея, интеллектульное средство, делающее нас более могущественными, если мы умело пользуемся им.

Идея ГАЛа — это только часть интеллектуальных средств из арсенала, которым владеет любой современный математик, физик или инженер. Она очень важна при историческом рассмотрении и при изучении физики как типа знания, под которое подгоняются утверждения и уравнения. Но вы не прочтете об этом в учебниках. Идея ГАЛа там никак не представлена, не пишут о ней и историки науки, обходят молчанием учителя. И в самом деле, большинство идей интуитивной физики осваиваются взрослыми физиками через процесс учения по Пиаже без специального обучения, а часто вопреки ему. Конечно, я заинтересован в признании факта существования такого неформального способа учения, но плодотворные интуитивные идеи нельзя просто изъять из учения по Пиаже и поместить в учебные программы. Здесь необходимы способы, облегчающие знакомство с этими идеями. Признав их существование, мы должны создать условия, которые бы их подкрепляли, при этом мы, разумеется, должны стремиться по возможности избавиться от препятствий, блокирующих формирование этих идей в большинстве традиционно организованных сред обучения.

Диалог ГАЛа и АРИ дает нам пример одного из самых пагубных средств научения — использования формальных рассуждений для подавления интуиции.

Каждый знает, сколь неприятные чувства вызывает столкновение с противоречащим интуиции феноменом, когда мы вынуждены признать под влиянием наблюдения или же доводов рассудка, что реальность не оправдывает наших ожиданий. Многие люди испытывали эти чувства, сталкиваясь с постоянно движущимися ньютоновыми частицами, с дорогой, заставляющей двигаться автомобиль наподобие лодки, с необычным поведением игрушек, построенных по принципу гироскопа. Во всех этих случаях интуиция, по-видимому, подводит нас. Иногда нам достаточно зафиксировать несоответствие реальности нашим ожиданиям, чтобы осознать поверхностность наших знаний. Но более интересны случаи, когда мы упорно не замечаем это несоответствие, вместо того чтобы поразмышлять над ним. Такие случаи заставляют нас делать выводы, что «интуиции не следует доверять», а это значит, нам необходимо как-то ее усовершенствовать, «отладить», но оказываемое давление заставляет нас отказаться от интуиции и довериться уравнениям. Обычно, когда ученик со своими затруднениями приходит к учителю физики, говоря, что, по его мнению, гироскоп должен упасть, а не стоять вертикально, учитель пишет уравнение и доказывает, что этот предмет будет стоять вертикально. Но не в этом нуждается ученик. Он уже знает, что гироскоп будет стоять вертикально, но это знание противоречит его интуиции. Доказывая, что гироскоп будет стоять прямо, учитель сыплет соль на рану. Его ученик хочет разобраться в себе самом, а не в гироскопе, он хочет понять, почему интуиция его подводит. Ему необходимо уяснить себе, как работает его интуиция, чтобы изменить ее. В приведенном диалоге мы видим, насколько умело манипулирует интуицией ГАЛ. Он не принуждает АРИ отказаться от своей интуиции, предпочтя ей вычисления. Более того, он сталкивает АРИ с весьма специфическим аспектом его интуиции, а именно с тем, как он мыслит об объектах. Из диалога видно, что ГАЛ трактует объекты как состоящие из частей, или субобъектов, а АРИ представляет объекты нерасчленяемыми конкретными целостностями с такими общими свойствами, как форма и вес.

Может показаться, что мы слишком уклонились от наших рассуждений о компьютерах. Но взаимодействие ГАЛа и АРИ непосредственно связано с важным типом взаимодействия между детьми и компьютерами и между детьми и учителями через посредство компьютера. ГАЛ пытается навести АРИ на иной способ осмысления объектов, раскрывая противоречивость его способа осмысления, а для искусного мыслителя, каким является АРИ, этого достаточно. Но что могут сделать дети, столкнувшись с вещами, противоречащими их интуиции?

Конечно, это вопрос риторический, поскольку я знаю, что дети много думают по поводу собственных мыслей, их беспокоит, если собственная интуиция их подводит, и они пытаются отладить ее. Если бы у детей не было никаких представлений о том, как это делается, то мои рассуждения были бы чистой утопией. Но поскольку они уже занимаются такими вещами, мы можем обеспечить их материалами, которые помогут в их работе.

Я считаю, что компьютер может оказать двоякую помощь. Во-первых, компьютер позволяет ребенку или даже заставляет его воплотить свои ожидания. Когда интуиция воплощается в программе, она становится более доступной для оценки и рефлексии. Во-вторых, идеи программирования могут использоваться в качестве материала для перемоделирования интуитивных представлений. Приводимый ниже анализ известной головоломки поясняет, как моделирование с помощью Черепашки позволяет навести мосты между формальными знаниями и интуитивными представлениями. Мы наблюдали множество случаев работы детей на компьютерах. В данном примере я хотел бы раскрыть смысл того, что означает приглашение поработать в ситуации, когда ваша интуиция начинает подводить вас.

Целью работы является не поиск «правильного» ответа, а развитие чувствительности к различным способам осмысления проблемы, скажем, между двумя интуитивными способами анализа или между интуитивным и формальным способами. Когда вы наталкиваетесь на конфликтную ситуацию, то, прежде всего, вы стремитесь предпринять какие-то шаги, которые возвратили бы вам утерянное чувство комфорта. Как только я понял это, то стал искать, каким образом моделирование с помощью Черепашки может оказаться предельно полезным для разрешения некоторых из таких конфликтов. Но мои действия, несомненно, определялись моим позитивным отношением к Черепашкам.

Представим себе нить, образующую окружность вокруг Земли, которую в целях простоты будем считать идеально правильной сферой с радиусом в 6400 км. Предположим, что эта нить крепится на палки двухметровой высоты. Очевидно, это значит, что длина нити превышает длину окружности Земли (см. рис. 17). Вопрос в том — насколько. Большинство людей, окончивших среднюю школу, знают, как подсчитать эту разницу. Но прежде чем вы прочтете ответ или попытаетесь сами найти его, попытайтесь предположить, на сколько же километров она длиннее: на тысячи, сотни или десятки?


Рис. 17. Изображенная на рисунке нить поддерживается одинаковыми двухметровыми палками. Обозначим радиус Земли как R, а высоту палок как h. Задача состоит в том, чтобы определить разницу в длине между внутренней и внешней окружностями. Ее легко подсчитать по формуле: ОКРУЖНОСТЬ = 2π • РАДИУС. Таким образом, разница должна равняться: 2π(R + h) — 2πR, т.е. h. Точный ответ явно бросает вызов нашим интуитивным представлениям об этой разнице

Большинству людей, привыкших предвосхищать подсчеты размышлением (а это является частью умения отладить нашу интуицию), интуитивно кажется, что длина нити будет значительно превышать длину окружности Земли. Для одних из таких людей источником подобных интуитивных представлений служит знание, что длина окружности Земли составляет 40 тыс. км (или что-то около этого), для других — более абстрактные представления о пропорциях. Но каким бы ни был этот источник, его «ошибочность» становится ясна из формального подсчета, который выявляет, что разница составит менее 15 м. Конфликт между интуитивными представлениями и подсчетом столь разителен, что эта задача стала широкоизвестной головоломкой. Вывод, который чаще всего делается из этого конфликта, — интуиции не следует доверяться. Мы же, вместо того чтобы заключить таким выводом, попытаемся вовлечь читателя в диалог и выявить, что же следует предпринять, чтобы преодолеть подобные интуитивные представления.

В качестве первого шага мы рассмотрим сходную по сути задачу, но которая облегчает поиск ошибки. Надежным правилом для такого упрощения является перевод задачи в вариант с прямыми линиями. Таким образом, мы решаем ту же задачу в варианте с «квадратной Землей».

Приведенные на рис. 18 схемы позволяют увидеть, что «сверхдлина» нити остается той же самой и в случае квадрата, и в случае круга. Это само по себе поразительно. Но более поразителен тот факт, что мы можем непосредственно видеть, почему размер квадрата не имеет никакого значения для определения «сверхдлины» нити. Мы, конечно, могли бы убедиться в этом, подсчитав все по формулам, но это не помогло бы нам справиться со своими проблемами. Благодаря «геометрической» наглядности мы убеждаемся, что в случае прямых линий наша интуиция нас не подводит: «сверхдлина» нужна только на округленных участках.


Рис. 18а. Нить закрепляется на палках высотой h. По сторонам квадрата нить натягивается по прямой, на углах она скругляется по кругу с радиусом h. Прямолинейные участки нити совпадают по длине со стороной квадрата. Длина нити превосходит длину сторон квадрата на 4 скругленных участка, каждый из которых представляет собой четверть круга и все вместе составляют окружность с радиусом h. Иными словами, «сверхдлина» нити равняется 2πh.

Рис. 18б. Увеличение размеров исходного квадрата никак не сказывается на величине скругленных участков. Вот почему разница между длиной нити и исходной окружностью определяется не размером Земли, какой бы большой она ни была, а высотой натяжения нити

К сожалению, этот способ видения не может быть перенесен на наши представления о случае с круглыми формами. Нам все ясно в случае с квадратом, но мы не можем не замечать, что он весьма сильно отличается от круга. Правда, имеется еще одна плодотворная идея, которой можно воспользоваться: промежуточные случаи. Когда неясно, что связывает два случая, разбираются промежуточные случаи. Например, ГАЛ фактически построил серию промежуточных тел между двухфунтовым ядром и двумя однофунтовыми ядрами. Что же является промежуточным случаем для квадрата и круга? Всякий, кто изучал исчисления или геометрию Черепашки, сразу же ответит: «Многоугольник со все увеличивающимся числом сторон». Если мы станем рассматривать многоугольник, изображенный на рис. 19, как один из серии «многоугольных земель», то сразу же увидим, что «сверхдлина» нити остается неизменной во всех случаях, и, что более замечательно, мы видим, как происходит «размывание» аргумента о прибавлении к исходной длине круглого предмета окружности определенной длины. В случае с тысячеугольником наращение исходной длины происходит в 250 раз меньше, чем в случае с квадратом.


Рис. 19. В случае восьмиугольника «сверхдлина» нити также приходится на скругленные участки, образующие вместе окружность с радиусом h. Как для квадрата, так и для восьмиугольника размер этой окружности не зависит от размеров исходной фигуры, просто в случае квадрата образуются 4 скругленных участка, восьмиугольника — 8, стоугольника — 100, тысячеугольника — 1000, но они всегда в сумме образуют окружность с радиусом h.

Подготовили ли мы свой ум к свершению необходимого скачка? Подобно ГАЛу, я не говорил ничего, до тех пор пока мы под давлением строго логичных рассуждений не оказались вынужденными сделать решающий шаг. Но дело не во мне. В этом пункте некоторые люди начинают колебаться, и я предположил, что колебания (или отсутствие таковых) определяются тем, как организуется переход к представлению о круге через увеличивающуюся многоугольность. Для людей, овладевших многоугольным представлением окружности, эквивалентность многоугольника и окружности согласуется с их интуицией. Людям же, для которых такое представление чуждо, приходится еще кое в чем разобраться, размышляя, например, над другими задачами.

Приводимая ниже задача взята из книги Мартина Гарднера «Математический карнавал»001:

«Если одна монетка огибает другую точно такую же монетку (скольжений при этом исключается), то сколько раз первая монетка должна повернуться вокруг себя, чтобы полностью обогнуть вторую монетку. Можно подумать, что одна монетка, огибая вторую, совершает 1 оборот, поскольку длины окружностей первой и второй монетки совпадают. Но остроумный эксперимент показывает, что монетка совершает два оборота вокруг своей оси, очевидно, к полному обороту вокруг своей оси добавляется еще оборот, связанный с огибанием другой монетки».

Опять-таки, мы столкнулись с конфликтом между интуитивным представлением (одно вращение) и результатом более тщательного рассмотрения задачи. Как свести интуицию и результат анализа в одну линию? Воспользуемся той же стратегией, что и в случае задачи с нитью, образующей окружность вокруг Земли. Пусть монетка огибает квадрат (опять-таки скольжение исключается). Вам сразу же бросится в глаза, что монетка ведет себя по-разному, когда катится по сторонам квадрата и когда огибает углы. Нетрудно заметить, что вращения на углах квадрата в сумме составляют 360°. Это утверждение справедливо и для других многоугольников независимо от числа сторон и размеров. А раз это так, то остается лишь совершить решающий переход от многоугольника через круг в геометрии для Черепашки к реальной окружности.

Я не думаю, что еще одно упражнение могло бы как-то изменить ваши интуитивные представления о круглых объектах. Здесь, как и в случае аристотелевой физики, конкретный фрагмент знаний является лишь частью взаимосвязанных и многообразных способов осмысления реальности. Я надеюсь, что хотя бы какое-то время вы следили за новым способом осмысления известных вещей и, наблюдая за возможностями его применения, вы захотели присоединить этого нового друга к старым своим знакомцам. Но у меня нет способа узнать, хотите ли вы изменить свои интуитивные представления о круглых объектах. Но если хотите, то я надеюсь, что описанный мною процесс является наилучшим (а может быть, и единственным) способом принять что-либо сознательно, не доверяясь случаю.

Мне хотелось, чтобы вы закрыли эту книгу с новым представлением о ребенке как мыслителе и даже эпистемологе, осознающем могущество плодотворных идей. Но я отдаю себе отчет в том, что подобное представление о ребенке может кому-то показаться абстрактным, а кого-то подобные рассуждения могут просто раздражать, особенно тех, кто занимается обучением детей.

Скажем, учителю третьего класса, каждый день проводящему много утомительных часов за обучением 36 детей грамматике или арифметике, мои разглагольствования о геометрии Черепашки, физических микромирах и кибернетике могут показаться далекими от реальности и похожими на совет Марии Антуанетты есть булки, чтобы не умереть с голода из-за отсутствия хлеба. Каким образом рассматривавшиеся нами плодотворные идеи связаны с тем, что для большинства школ является ее хлебом, а именно с базовыми навыками?

Прежде всего, эти идеи связаны с установками учащегося. Вы не сможете выучиться навыкам, хотя они и являются хлебом, если вы опасаетесь их или даже ненавидите. Помощь детям, которым не лезут числа в голову, когда их учат арифметике, должна сводиться к формированию нового отношения к числам. Этого можно добиться, организовав у детей позитивное отношение к чему-то, что они не признают за сущность того же рода, что и числа. Этим чем-то может стать и школьная математика.

Пятиклассница Ким постоянно получала самые низкие баллы по всем школьным арифметическим тестам. Она ненавидела математику. В среде обучения ЛОГО она увлеклась программированием. Она решила создать программу по использованию особого банка данных, в котором хранилась бы информация о родословном древе ее семьи. Как-то помогавший ей педагог сказал, что «компьютеры делают математику занимательной». Ким оторвалась от своих занятий и сказала сердито: «Но в математике нет ничего занимательного». Педагог не подумал о том, что благоразумнее не обсуждать с девочкой, имеют ли ее занятия отношение к математике или нет. Ясно, что для нее математика, по определению, не могла быть хоть чем-то хороша. Но к концу учебного года Ким сама увидела связь своих занятий с математикой и решила, что математика не так уж плоха и трудна.

Узнавание математики (и увлечение ею) наподобие того, как происходит узнавание человека (и увлечение им),— вот подходящий образ того, что произошло с девочкой. Компьютеры тоже могут помочь изучить хлеб арифметики, изменяя наши представления об этой науке, о тех плодотворных идеях, которые делают эту наук) столь важной. Школьная арифметика обычно понимается как раздел теории чисел, но было бы лучше считать ее разделом науки о компьютерах. Трудности, испытываемые при этом детьми, обычно определяются не недостаточностью их представлений о числе, но неудачами в освоении релевантных алгоритмов. Изучение алгоритмов может рассматриваться как процесс создания, использования и исправления программ. Когда складываются многозначные числа, то фактически действия выполняются по принципу работы компьютера и процедура напоминает программу, приведенную на рис. 20.


1. Располагаем числа друг под другом, соблюдая разряды

2. Обращаем внимание на цифры, образующие крайнюю правую колонку

3. Складываем все цифры этой колонки

4. Если результат меньше Ю.записываем его под колонкой

5. Если результат равен или больше 10, то записываем только правую цифру, а остальные переносим в соседнюю колонку слева

6. Обращаем внимание на соседнюю колонку слева

7. Повторяем действия, начиная с шага 3.

Рис. 20


Чтобы лучше разобраться с программированием, необходимо больше о нем знать и почувствовать удобство от способов применения процедур. А это как раз то, что дает опыт работы на хорошем компьютере.

Эти замечания больше относятся к нашим более ранним рассуждениям о различиях между программой «Новая математика», принятой при реформе 60-х гг., и тем обогащением, которое привносит в математику новая культура. В главе 2 мы разбирали причины, обусловившие провал «Новой математики»; она не улучшила отчужденное отношение нашего общества к числу. Напротив, она усугубила отчуждение. Теперь мы обсудим еще одну, причину провала «Новой математики». Эта программа пытается связать обучение математике с теорией чисел, с теорией множеств и логикой, вместо того чтобы выявлять концептуальные камни преткновения, на которые действительно наталкиваются дети: отсутствие у них знаний о программировании. Иными словами, авторы «Новой математики» неверно поняли источник детских проблем. Такое неверное понимание пагубно в нескольких отношениях. Оно пагубно тем, что видит улучшение понимания детьми арифметики в упражнениях в безотносительных к опыту детей областях знаний. Оно также пагубно тем, что делает акцент на безотносительной к математическому образованию системе ценностей. Чистый математик относится к идее числа как значимой, могущественной и важной. К процедурным подробностям он относится как к чему-то поверхностному и неинтересному. Таким образом, проблемы детей возвращают нас к трудности абстрактного понимания числа. Ученый-компьютерщик использует более прямой подход. Трудности со сложением он не рассматривает и качестве симптомов каких-то иных проблем, для него это трудности в процедуре сложения. Для программиста эта процедура и способы, превращающие ее в ошибочную, крайне интересны и концептуальны, как любые другие вещи. Более того, то, что приводит к промахам, а именно ошибки не считаются вещами, от которых следует бежать, как от чумы, и образуют подлинную сторону процесса учения.

Кен был пятиклассником, который, прибавляя 35 к 35, получил 610. Его ошибка очевидна. Поскольку 32 и 32 составляют 64, то 35 плюс 35 составляют 610. Этот мальчик стал лучше относиться к математике, когда понял, какую шутку может сыграть с нами недостаток понимания математических правил. По-французски, в отличие от английского, можно сказать «семьдесят», и можно «шестьдесят десять», но, хотя французы, как и мы, записывают шестьдесят пять как 65, они никогда не запишут «шестьдесят десять» как 610. Эти цифры задействованы для обозначения чего-то другого.

Может показаться, что интуитивные представления Кена о числах крайне поверхностны. Но это абсолютно ошибочный диагноз. Когда его спросили: «Если у тебя 35 долларов и тебе дали еще 35 долларов, то у тебя стало 610 долларов?»— мальчик убежденно сказал «нет». Когда же его спросили, сколько же у него стало денег, мальчик вернулся к подсчетам на бумаге, зачеркнул «0» и дал новый ответ «61», что более соответствовало его интуитивным представлениям о том, что получается при сложении 35 и 35. Проблема этого мальчика связана не с плохим представлением о числе. С точки зрения программирования она связана с осознанием нескольких трудностей, каждая из которых вполне понятна и поддается исправлению.

Во-первых, у мальчика отсутствует связь между операцией в данной процедуре и его багажом знаний. Более точную процедуру можно было бы построить, установив такой шаг, как «проверка ошибок». Поскольку он осознает ошибку, когда его к этому побуждают, он определенно в состоянии включиться в процедуру, в которой он побуждал бы сам себя к поиску ошибок. Во-вторых, когда мальчик обнаружил ошибку, он не исправил ее и даже не попытался разобраться, в чем дело, он просто изменил свой ответ. В-третьих, мое знание Кена подсказало мне, почему он не попытался изменить процедуру подсчета. Ко времени этого инцидента мальчик не относился к процедуре как к реалии, как к предмету, который он может обозначить, манипулировать с ним или изменить его. Вот почему он был далек от сознательного исправления процедур. Это представление о процедурах как о вещах, которые не подлежат отладке, настолько сильно, что затрудняет понимание процедур многими детьми, до тех пор пока они не приобретают достаточный опыт в выполнении этих процедур.

Я наблюдал детей, которые, как и Кен, преодолевают эту трудность, приобретя некоторый опыт написания программ в среде обучения ЛОГО. Но почему дети не обучаются процедурному подходу в повседневной жизни? Каждый из нас сталкивается с процедурами в каждодневных делах. Играя в игры, давая указания заблудившемуся шоферу, мы упражняемся в процедурном мышлении. Но используемые и подкрепленные в повседневной жизни процедуры не обязательно становятся предметом рефлексии. Однако в среде обучения ЛОГО, процедура превращается в вещь которая обозначается, которой манипулируют и которую осознают, поскольку дети овладевают идеей процедуры, Это достигается благодаря тому, что для детей типа Кена опыт использования процедур в повседневной жизни и занятия программированием становятся источником для овладения формальной школьной арифметикой. Ньютоновы законы движения оживают, когда мы прибегаем к метафорическому использованию программирования, чтобы связать эти законы с личностно значимыми и концептуально более плодотворными вещами. Геометрия оживает, когда мы связываем ее с тем, что является ее предшественником в наиболее фундаментальном человеческом опыте, опытом передвижения в пространстве нашего собственного тела. Точно так же формальная арифметика оживает, когда мы оказываемся в состоянии сформировать у конкретного учащегося связь с процедурными предшественниками. И такие предшественники действительно есть. Ребенок обладает процедурными знаниями и пользуется ими во многих жизненных ситуациях, играет ли он в лото или же объясняет, как проехать, сбившемуся с дороги шоферу. Но те же действия ребенок не умеет использовать, занимаясь школьной арифметикой.

Здесь мы сталкиваемся с точно той же ситуацией, с какой столкнулись в диалоге АРИ и ГАЛа, и с той, какая возникает, когда моделирование круга с помощью Черепашки изменяет наши интуитивные представления о круглости и помогает разобраться в задачах с нитью и монетками. Во всех этих случаях нас интересует, как плодотворные идеи становятся частью наших интуитивных представлений. У меня нет рецепта для формирования у ребенка интуиции, как и когда использовать процедурные представления, но я думаю, лучшее из всего, что мы можем сделать,— это воспользоваться метафорой узнавания нового человека. Как педагоги мы можем помочь детям пользоваться процедурным мышлением эффективно и радостно, создав соответствующие условия. И мы можем помочь им, предложив им оценить множество относящихся к процедурам понятий. Это достигается через концептуализацию содержания среды обучения ЛОГО.

В этой книге я, несомненно, все время доказываю, что процедурное мышление является мощным интеллектуальным средством, и даже предлагаю при выборе стратегии овладения таким мышлением отождествлять себя с компьютером. Люди часто опасаются, что использование компьютеров в качестве модели для человеческого поведения может привести к линейному, или механическому, мышлению. Их беспокоит, что люди перестанут доверять своей интуиции, своему чувству значимости и силе своих суждений. Их беспокоит, что инструментальный способ рассуждения становится моделью добротного мышления. Я принимаю серьезность этих опасений, но рассматриваю их как опасения не в связи с компьютерами как таковыми, а в связи с тем, как культура может ассимилировать их существование. Совет «думать наподобие компьютера» может означать всегда думать обо всем наподобие компьютера. Это понимание ограниченно и узко. Но этот совет можно понять и в совершенно другом смысле, не предполагающем ничего, кроме плодотворного пополнения запаса умственных средств человека. Ни от чего нельзя отказаться так, чтобы оно не сохранилось. Предположим, что некто в соответствии с теорией гуманистической психологии вынужден отказаться от старого метода и принять новый. Мне такой подход кажется наивным и ничем не подкрепляемым. Для меня выдающейся особенностью человеческого интеллекта является его способность действовать многими, часто параллельными способами, так что нечто может быть понято на многих уровнях. Для меня тот факт, что я заставляю себя «думать наподобие компьютера», не закрывает других способов познания. Просто открывается новый способ подхода к мышлению. Ассимиляция культурой существования компьютеров понимается как «знание программирования» или знание различных способов использования компьютеров. Но подлинная компьютерная грамотность — это не только знание того как использовать компьютеры и компьютерные идеи. Это знание того, когда и каким образом это следует делать.



001 Gardner M. Mathematical Carnaval. N. Y., 1977; Гарднер М. Математические чудеса и тайны математические фокусы и головоломки. М., 1978, его же Математические головоломки и развлечения. М , 1971; его же, Математические досуги. М., 1972; его же, Математические новеллы. М., 1974; его же, Есть идея. М,, 1982.