Глава 3

ГЕОМЕТРИЯ ЧЕРЕПАШКИ:
МАТЕМАТИКА, ПРИГОДНАЯ ДЛЯ УЧЕНИЯ

Геометрия Черепашки — это совсем особый способ занятий геометрией, это и не евклидов аксиоматический и не декартов аналитический способ. Свои рассуждения Евклид вел в логическом стиле, Декарт — в алгебраическом, геометрия Черепашки — это вычислительный стиль построения этой области знаний.

Евклид выводил свою геометрию из некоторого множества фундаментальных понятий, одним из которых является точка. Точка может быть определена как сущность, не обладающая никакими другими свойствами (ни цветом, ни формой, ни размером), кроме положения в пространстве. Люди, еще не знакомые с формальной математикой, еще недостаточно «математизированные», часто находят это понятие трудным для понимания и даже нелепым. Им трудно соотнести это понятие с тем, что они хорошо знают. В геометрии Черепашки также имеется фундаментальная сущность, подобная точке в геометрии Евклида. Но эту сущность, которую я называю Черепашкой, легко соотнести с известными людям вещами, поскольку, в отличие от евклидовой точки, она не лишена каких-либо свойств и даже может двигаться. Помимо положения в пространстве Черепашка обладает еще одним важным качеством: у нее есть «направление». Евклидова точка — это какое-то место в пространстве, и это все, что вы можете сказать о ней. Черепашка — это тоже какое-то место в пространстве, но она также обращена в определенную сторону, т. е. она имеет направление. В этом Черепашка похожа на нас (я стою здесь, обратившись лицом на север), или на животное, или на корабль. Из этих свойств Черепашки проистекает ее способность дать ребенку первые представления о формальной математике. Ребенок может идентифицировать себя с Черепашкой и тем самым использовать знания о своем теле и о том, как оно движется при изучении формальной геометрии.

Чтобы понять, как это происходит, нам необходимо узнать о Черепашке еще одну вещь: она реагирует на команды, выраженные на языке, называемом «Разговор с Черепашкой». Команда ВПЕРЕД заставляет Черепашку двигаться по прямой линии в сторону, в которую она обращена (см. рис. 4). Чтобы скомандовать ей, насколько далеко она должна продвинуться, необходимо к команде ВПЕРЕД прибавить число; ВПЕРЕД 1 заставляет Черепашку сделать очень небольшое движение, а ВПЕРЕД 100 — гораздо большее. В среде обучения ЛОГО многие дети начинают осваивать путь в геометрию Черепашки, работая с механической Черепашкой, кибернетическим роботом, выполняющий команды, после того как они напечатаны на клавиатуре обычной пишущей машинки. Такая «напольная» Черепашка имеет колеса, имеет куполообразную форму и обладает устройством, вычерчивающим линию, пока Черепашка движется. Но такие существенные свойства Черепашки, как положение в пространстве, направление и способность понимать команды на языке «Разговор с Черепашкой», как раз и позволяют заниматься с ее помощью геометрией. Позднее ребенок может познакомиться с этими тремя свойствами в другой модификации Черепашки — световая Черепашка. Последняя представляет собой светящееся на экране телевизора пятно треугольной формы. Это пятно также имеет положение в пространстве и направление. И оно также перемещается на экране и понимает команды, отдаваемые все на том же языке «Разговор с Черепашкой». Каждый из этих вариантов Черепашки имеет свои сильные и слабые стороны: напольная Черепашка может использоваться как игрушечный бульдозер, а также как чертежный инструмент; световая Черепашка рисует светящиеся линии настолько быстро, что глазу практически невозможно уследить за этим процессом. Ни одно из этих устройств не имеет преимуществ перед другим, на самом деле они есть воплощение одной плодотворной идеи: физически различные сущности в математическом отношении могут не различаться (быть «изоморфными»)001.


Квадрат может быть нарисован при следующей
последовательности команд
ВПЕРЕД 100  
НАПРАВО 90  
ВПЕРЕД 100  
НАПРАВО 90  
ВПЕРЕД 100  
НАПРАВО 90  
ВПЕРЕД 100  
НАПРАВО 90  
ВП 100 (сокращения введены для упрощения
НП 100 печатания команд)
ВП 100  
ОТМЕНЯЕТСЯ 1 (происходит возврат к положению, пред-
НП 10 шествовавшему последней команде)
НЛ 10 (Черепашка поворачивается в поисках
НЛ 10 прямого угла)
ВП 100  
НП 100  
НЛ 10  
НП 100 (в этом случае получается быстрее)
НЛ 10  
ВП 100  
НП 40  
ВП 100  
НП 90  
ВП 100  

Рис. 4. Реальный пример первой попытки ребенка нарисовать квадрат.

Команды ВПЕРЕД и НАЗАД заставляют Черепашку двигаться по прямой в сторону, куда она обращена, или, соответственно, в противоположную сторону: положение Черепашки в пространстве меняется, но ее направление остается тем же самым. Две другие команды НАПРАВО и НАЛЕВО заставляют Черепашку повернуться: ее направление меняется, а положение в пространстве остается тем же. Подобно тому как к команде ВПЕРЕД добавляется число, указывающее, насколько нужно продвинуться, к командам поворота также добавляется число, указывающее, насколько должна повернуться Черепашка. Взрослые легко распознают в этих числах меру для угла поворота. Многие дети должны поупражняться с этими числами, и это занятие превращается для них в увлекательную игру.

Поскольку изучение управления Черепашкой похоже на изучение родного языка, оно мобилизует эрудицию ребенка, и он получает удовольствие, используя ее. Поскольку командовать приятно, то это мобилизует запоминание ребенком команд, и он получает удовольствие от этого. Чтобы заставить Черепашку двигаться по квадрату, вы сами проделываете этот путь, а затем описываете на языке «Разговор с Черепашкой», как это у вас получилось.

Таким образом, занятия с Черепашкой мобилизуют знания ребенка о движении и он получает удовольствие, двигаясь сам. Поскольку ребенку хорошо известна «геометрия собственного тела», то, взяв эти знания за исходную точку, легко перекинуть мост в формальную геометрию.

Целью первых занятий детей с Черепашкой по изучению окружающей среды является не заучивание правил, а развитие умения постигать способ, каким люди движутся в пространстве. Эти постижения описываются на языке «Разговор с Черепашкой», и тем самым они становятся либо «программой», либо «операцией», либо «дифференциальным уравнением» для Черепашки. Давайте повнимательней понаблюдаем за тем, как ребенок, который уже научил Черепашку двигаться по прямой, чертить квадраты, треугольники и прямоугольные треугольники, может научиться программировать вычерчивание круга002 .

Давайте представим себе — я наблюдал это уже сотни раз — ребенка, который спрашивает: «Как мне сделать так, чтобы Черепашка нарисовала круг?» Учитель в среде обучения ЛОГО не дает ответа на подобные вопросы, но вовлекает ребенка в разрешение не только этой проблемы, а целого класса таких проблем. Это делается при помощи фразы «Поиграй в Черепашку». Ребенка побуждают осуществить самому то движение, которое он хочет, чтобы Черепашка проделала на экране. Поскольку ребенок хочет, чтобы получился круг, то собственное движение по кругу он может описать следующим образом: «Когда я иду по кругу, то делаю небольшой шаг вперед и слегка поворачиваю. И все время повторяю это движение». От этого описания остается лишь один незначительный шаг к написанию формальной программы для Черепашки.

РИСУЕМ КРУГ ПОВТОРИТЬ [ВПЕРЕД 1 НАПРАВО 1] Менее наблюдательный и менее искушенный в простом программировании и эвристической игре с Черепашкой ребенок может нуждаться в помощи. Но она не должна сводиться к обучению ребенка, как ему написать программу РИСУЕМ КРУГ, скорее, мы должны обучить ребенка некоей эвристической процедуре. Этот метод (который включает совет «Поиграй в Черепашку») состоит в попытках установить связь между движением собственного тела и формальными знаниями.

В Матландии, где пребывает Черепашка, антропоморфные представления облегчают перенос знаний из знакомых ситуаций в новые контексты. Например, метафора, которой я обычно пользуюсь, говоря о программировании на компьютере, — это обучение Черепашки новому слову. Ребенок, который хочет нарисовать много квадратов, может научить Черепашку новой команде, которая будет выполняться после завершения последовательности семи из всех используемых при вычерчивании квадрата команд (см. рис 4). Это можно сделать в нескольких различных формах:

РИСУЕМ КВАДРАТ

ВПЕРЕД 100

НАПРАВО 90

ВПЕРЕД 100

НАПРАВО 90

ВПЕРЕД 100

НАПРАВО 90

ВПЕРЕД 100

КОНЕЦ

РИСУЕМ КВАДРАТ

ПОВТОРИТЬ 4

ВПЕРЕД 100

НАПРАВО 90

КОНЕЦ

РИСУЕМ КВАДРАТ: РАЗМЕР

ПОВТОРИТЬ 4

ВПЕРЕД: РАЗМЕР

НАПРАВО 90

КОНЕЦ

Точно так же мы можем написать программу для вычерчивания равностороннего треугольника:

РИСУЕМ ТРЕУГОЛЬНИК

ВПЕРЕД 100

НАПРАВО 120

ВПЕРЕД 100

НАПРАВО 120

ВПЕРЕД 100

КОНЕЦ

РИСУЕМ ТРЕУГОЛЬНИК: РАЗМЕР

ПОВТОРИТЬ 3

ВПЕРЕД: РАЗМЕР

НАПРАВО 120

КОНЕЦ

Эти альтернативные программы достигают почти того же самого эффекта, но просвещенный читатель обратит внимание на некоторые различия. Наиболее очевидное различие составляет тот факт, что некоторые из этих программ позволяют вычерчивать фигуры различных размеров. В этих случаях команда рисовать фигуру могла быть такой: КВАДРАТ 50 или КВАДРАТ 100, а не просто КВАДРАТ. Более тонкое различие состоит в том, что некоторые из этих программ возвращают Черепашку в ее первоначальное состояние. Программы, написанные в столь простом стиле, гораздо легче понимать и использовать в различных контекстах. И, замечая эти различия, дети извлекают два урока. Они усваивают общий «матетический принцип» превращения компонентов в модули. И они учатся пользоваться очень плодотворной идеей «состояния».

Та же стратегия движения от знакомого к неизвестному сталкивает учащегося и с плодотворными идеями общего характера, такими, как идея иерархической организации (знаний, структур, строения организмов), идея планирования при выполнении программы, идея отладки.

Нет никакой необходимости пользоваться компьютером, чтобы рисовать треугольники или квадраты. Карандаша и бумаги для этого достаточно. Но как только эти программы отработаны, они становятся теми строительными блоками, которые позволяют ребенку создавать иерархии знаний. В этом, процессе развиваются плодотворные интеллектуальные навыки. Этот момент очень четко прослеживается в некоторых программах, которые дети разработали для самих себя после нескольких занятий с Черепашкой. Многие дети спонтанно следуют по тому же пути, что и Памела. Эта девочка начала учить компьютер командам КВАДРАТ и ТРЕУГОЛЬНИК так, как это описано на рис. 4. Затем она решила построить домик, поместив треугольник сверху квадрата. Она попробовала сделать это следующим образом:

РИСУЕМ ДОМИК

КВАДРАТ

ТРЕУГОЛЬНИК

КОНЕЦ

Но когда она отдала команду РИСУЕМ ДОМИК, Черепашка начертила то, что изображено на рис. 5. Треугольник оказался внутри квадрата, а не сверху него!


Рис. 5

Рис. 6


Обычно на уроках математики ребенок реагирует на ошибочный ответ тем, что старается по возможности быстрее забыть о нем. Но в среде обучения ЛОГО ребенок не критикуется за ошибку в рисовании. Процесс отладки — обычная часть процесса освоения программы. Программист заинтересован в том, чтобы разобраться в ошибке, а не забыть ее. И в ситуации с Черепашкой имеется хороший повод разобраться в ошибке. Ее необходимо убрать.

Существует много способов зафиксировать эту ошибку. Памела предпочитала из всех них один — игру в Черепашку. Идя по пути, который проделала Черепашка, она увидела, что треугольник оказывается внутри квадрата, потому что ее первый поворот при начале движения по треугольному пути был направо. Таким образом она зафиксировала ошибку и исправила программу на левый поворот при рисовании треугольника. Еще одним обычным способом исправления ошибки является вставка команды НАПРАВО 30 между командами КВАДРАТ и ТРЕУГОЛЬНИК. Что получается при таких улучшенных вариантах программы, изображено на рис. 6.

Учащийся видит свой успех, но он также видит, что на свете не так уж многр вещей, которые можно обозначить как абсолютно правильные или ошибочные, более распространены ситуации, когда такая оценка представляет некий континуум. Дом стал правильнее, но он все еще содержит ошибку. Еще поиграв в Черепашку, ребенок уловил и исправил ошибку, начав программу с команды НАПРАВО 90.

Одни дети используют программные блоки для создания конкретных рисунков, таких, как ДОМИК. Другие предпочитают более абстрактные узоры. Например, если, дав команду КВАДРАТ, вы добавите поворот Черепашки НАПРАВО 120, затем новую команду КВАДРАТ и опять поворот НП 120, или же НП 10 и РИСУЕМ КВАДРАТ, а затем все повторите, то вы получите фигуру, изображенную слева на рис. 7. Еще меньший поворот Черепашки дает фигуру, изображенную на рис. 7 справа.

Рис. 7


Эти примеры показывают, как принципы непрерывности и раскрывающихся возможностей превращают геометрию Черепашки в предмет для учения. Но мы хотели бы достичь кое-чего еще: Распахнуть двери в интеллектуальный мир важных, плодотворных Идей. Даже рисуя эти простые квадраты и звезды, Черепашка передает некоторые важные идеи угла, управляемого повторения, оператора изменения состояния. Чтобы разобраться более систематическим образом с тем, чему учатся дети, работая с Черепашкой, мы стали различать два типа знаний. К первому типу мы отнесли знания математические: Черепашка — это только маленькое зернышко из огромного предмета «математика»; геометрия Черепашки — это разновидность геометрии, которой легко учиться и которая позволяет передать очень важные математические идеи. Ко второму типу отнесли знания матетические: знания об обучении. Сначала мы разберемся с матетическим аспектом занятий с Черепашкой, а затем займемся более специальной математической стороной. Разумеется, эти знания переплетаются.

Мы разработали геометрию Черепашки, связав ее с фундаментальным матетическим принципом: делать осмысленным то, чему вы хотите научиться. Припомним случай с Дженни, которая, не обладая необходимыми для различения существительных или глаголов концептуальными представлениями, не могла понять грамматики, поскольку не умела найти свое место в занятии этим предметом. В столь фундаментальном способе рассмотрения грамматики она не видела смысла. Геометрия Черепашки специально задумывалась так, чтобы дети могли извлечь для себя смысл, сделать в ней нечто такое, что отвечало бы их представлению о том, что важно. Так было задумано с целью помочь детям развить у себя матетическую стратегию: чтобы учиться чему-то, необходимо сначала осмыслить это.

Случай с рисованием Черепашкой круга есть пример синтонного учения003 . Этот термин взят из клинической психологии, и он противоположен уже обсуждавшемуся термину «учение, лишенное ассоциаций». Иногда этот термин используется для указания типа синтонии. Например, рисование Черепашкой круга синтонно телу, в том смысле, что рисование круга осмысляется ребенком через связь со знанием собственного тела. А синтонное «я» означает созвучность представлениям детей о себе как людях с определенными целями, намерениями, желаниями, симпатиями и антипатиями. Ребенок, рисующий с помощью Черепашки круг, делает это с волнением и гордостью.

Геометрия Черепашки пригодна для учения именно потому, что она синтонна. И она является средством изучения других вещей, поскольку поощряет ребенка к их сознательному, продуманному использованию при решении проблем и выборе матетических стратегий. Математик Джорж Пойа004 показал, что общим методам решения проблем необходимо обучать. Некоторые из стратегий, используемых в геометрии Черепашки, являются частными случаями методик Пойа. Например, Пойа рекомендует независимо от подхода к проблеме начинать с мысленного проговаривания эвристических вопросов типа: может ли эта проблема быть разбита на более простые проблемы? Не связана ли данная проблема с задачами, которые я уже решал? В геометрии Черепашки это само собой разумеющиеся упражнения. Ключ к решению проблемы, как заставить Черепашку нарисовать круг, ищется в проблеме, уже хорошо известной ребенку, — собственного движения по кругу. Геометрия Черепашки предоставляет прекрасные возможности попрактиковаться в искусстве декомпозиции трудных проблем. Например, прежде чем нарисовать ДОМИК, были нарисованы КВАДРАТ и ТРЕУГОЛЬНИК. Короче говоря, я убежден, что геометрия Черепашки сама собой приводит к принципам Пойа, поэтому лучший способ ознакомить учащихся с этими принципами — это заставить их заниматься геометрией Черепашки. Итак, геометрия Черепашки служит передатчиком основных идей эвристических стратегий.

Под влиянием идей Пойа утвердилось мнение, что учителя математики должны уделять не меньшее внимание «эвристическим методам» или процессу решения задач, чем они уделяют передаче содержания самого предмета. Ошибочность такого представления коренится в системе образования и отчасти может быть объяснена скудностью добротных ситуаций, когда дети сталкивались бы и осваивали простые и интересные для них модели эвристических знаний. Геометрия Черепашки не только особенно богата такими ситуациями, она прибавляет к совету Пойа «Чтобы решить проблему, поищите, на что она похожа, и тогда вы ее поймете» новый момент. Совет Пойа абстрактен. Геометрия Черепашки превращает его в конкретную процедуру: поиграй в Черепашку, чтобы понять, как бы ты это сделал сам. Работа с Черепашкой почти неисчерпаемый источник «сходных ситуаций», поскольку мы извлекаем эти ситуации из собственного поведения и наблюдая собственное тело. Итак, когда возникает затруднение, мы можем поиграть в Черепашку. И это наполняет совет Пойа земным содержанием. Геометрия Черепашки становится мостом к принципам учения по Пойа. Ребенок, много поработав с Черепашкой, начинает хорошо понимать значение совета «Поищите, на что она похожа», поскольку часто пользовался им. Вместе с успешной работой с Черепашкой приходят доверие к этому совету и навык пользоваться им в ситуациях, с которыми ребенок сталкивается при изучении школьной математики, где сходство не так очевидно. Школьная математика хотя и элементарна с точки зрения ее арифметического содержания, тем не менее, она относительно абстрактный предмет для усвоения принципов Пойа.

Арифметика не совсем удачная область для изучения эвристического мышления. Геометрия Черепашки — это то, что нужно. Благодаря ее свойству быть синтонной телу и нашему «я» процесс освоения того, как заставить Черепашку рисовать, становится для ребенка моделью учения, весьма отличного от лишенного ассоциаций процесса учения пятиклассника Билла, так описавшего способ, каким учат таблицу умножения в школе: «Вы учите этот материал, как если бы в голове вашей находился бланк с записями. Проговаривая эти записи строчку за строчкой, вы запоминаете их». Билл потратил достаточно времени, чтобы «выучить» эту таблицу. Результаты были жалкими, фактически эти результаты сами по себе свидетельствуют о точности описания Биллом собственной умственной деятельности в процессе этого учения. Он ничему не научился, поскольку все свои усилия направил на установление какой-либо связи с изучаемым материалом, точнее, он приспособил ошибочную, лишенную ассоциаций связь к стратегии учения. Его учителя считали, что «у мальчика плохая память», и даже допускали возможность умственной отсталости. Но Билл знал много популярных и народных песен, которые вспоминал безо всякого труда, возможно, потому что не был занят отработкой воображаемого бланка.

В соответствии с современными теориями о разделенности функций мозга можно предположить, что у Билла «специфически плохая память» на числа. Но мальчик мог легко перечислить числа, цены и даты по тысячам пластинок. Разница между тем, чему он мог и не мог научиться, определялась содержанием знания и степенью отнесенности этого знания к нему. Геометрия Черепашки благодаря своей связи с ритмом и движением, а также со знанием управления движением, столь необходимыми в повседневной жизни, позволяли Билли связать эту геометрию с тем, как он исполнял песни, а не с таблицей умножения. Его успех был поразителен. Через геометрию Черепашки математические знания, до этого отвергаемые Билли, стали достоянием его интеллектуального мира.

Теперь мы вернемся из матетического рассмотрения к рассмотрению математическому. Какой математике учатся, когда изучают геометрию Черепашки? Чтобы ответить на этот вопрос, различим три класса математических знаний, каждый из которых по-своему выигрывает при работе с Черепашкой. Во-первых, имеются знания «школьной математики». Эти знания были сознательно отобраны (по-моему, по большей части в силу каких-то исторических прецедентов) в качестве сердцевины, основ математики, которыми должны овладеть все граждане страны. Во-вторых, имеются знания (назовем их протоматематикой), которые предполагаются школьной математикой, но ни в каких традиционных программах явно не упоминаются. Некоторые из этих знаний по своей природе социальны, например, знания того, что означает математика и почему мы ею занимаемся, как мы можем осмыслять эту науку. Другие являются знаниями о типе лежащих в основе математических знаний структур. На эти структуры обратила внимание педагогов генетическая эпистемология. К ним относятся такие дедуктивные принципы, как транзитивность, сохранение, интуитивная логическая классификация и т. д. И наконец, в-третьих, знания, которые и не включаются в школьную математику, и не предполагаются ею, но которые следовало бы включить в интеллектуальный арсенал образованных граждан будущего.

Мне кажется, что понимание связей между евклидовой и декартовой геометриями, а также между ними и дифференциальными системами относится к третьему классу знаний. У ученика, рисующего круг с помощью Черепашки, формируется нечто большее, чем простое понимание способа вычерчивания круга. Он соприкасается с созвездием идей, составляющих сердцевину исчислений. Для многих читателей, кто сталкивался с исчислениями только в старших классах школы или кто прослушал курс лекций в колледже, исчисления ассоциируются с некоторым формальным манипулированием символами, и потому им мое утверждение не кажется очевидным. Ребенок в случае вычерчивания круга с помощью Черепашки не изучает формальную сторону исчисления, например, то, что производная Xn равняется пХn-1, но он пользуется им и его смыслом. Фактически программа вычерчивания круга Черепашкой приводит к альтернативному варианту формального исчисления, к тому, что традиционно называется дифференциальным уравнением, и она есть носитель плодотворных идей, скрывающихся за понятием дифференциала. Вот почему многие разделы математики оказывается возможным понять благодаря Черепашке; программа для Черепашки это неявный, интуитивный аналог дифференциального уравнения, понятие, которое встречается почти в каждом примере традиционной прикладной математики.

Дифференциальное исчисление становится таким мощным инструментом во многом благодаря своей способности описывать приращение, как то, что происходит в ближайший момент. Именно эта способность позволила Ньютону описать движение планет. Поскольку орбита — это прохождение по определенному пути, то локальные условия нахождения планеты в одном месте сами по себе определяют, где будет находиться планета в любой следующий момент. В своей инструкции Черепашке ВПЕРЕД 1, ПОВОРОТ НАПРАВО 1 мы только обозначаем разницу между тем, где находится Черепашка в данный момент и где она должна очутиться в следующий. Это-то и превращает нашу инструкцию в дифференциал. В этой инструкции нет никакого указания, в какой части пространства проделывает свой путь Черепашка. Черепашка видит только круг, по которому идет, и она слепа ко всему, что Расположено внутри и вне его. Это свойство также настолько важно, что математики дали ему специальное название: геометрия Черепашки «предопределена (встроена)». Суть предопределенной (встроенной) дифференциальной геометрии лучше всего представить, рассмотрев несколько способов описания кривой, скажем, такой, как круг005 . Для Евклида определяющим свойством круга является константность расстояния между точками круга и точкой (центром), которая не является частью круга. В геометрии Декарта (в этом отношении она больше похожа на геометрию Евклида, чем на геометрию Черепашки) точки определяются их расстоянием от чего-то внешнего им, скажем от осей координат. Линия и кривые определяются через уравнения, связывающие координаты составляющих эти линии точек. Например, круг описывается так:

(x - a)2 + (y – b)2 = R2

В геометрии Черепашки круг определяется тем фактом, что Черепашка должна повторять одно действие: слегка ВПЕРЕД, слегка ПОВЕРНУТЬ. Это повторение означает, что получающаяся в результате кривая будет иметь «постоянную кривизну», где кривизна означает, насколько вы должны повернуть, двигаясь вперед006.

Геометрия Черепашки принадлежит к семейству геометрий со свойствами, отличными от евклидовой и декартовой систем. Только когда такая дифференциальная геометрия была разработана Ньютоном, во многом стала возможной и современная физика. Мы уже отмечали, что дифференциальные уравнения являются формулами, благодаря которым физика может описывать движения частиц и планет. В главе 5 мы обсудим это подробнее, когда будем рассматривать, как соответствующие формулы позволяют описать движение животного или развитие экономики. И мы еще поймем, убедимся, что не в силу случайных обстоятельств геометрия Черепашки связана не только с личным опытом ребенка, но и с наиболее плодотворными достижениями физики. Для описания законов движения ребенка, хотя они менее однозначны по форме, чем движение планет вокруг Солнца, и отличаются от полета мотылька вокруг пламени свечи, подходит то же по математической структуре дифференциальное уравнение, которое описывает движение планет и полет бабочки. И Черепашка — это не что иное, как реконструкция интуитивной формы исчисления о качественной сущности математических структур. Когда мы вернемся к этим идеям в главе 5, то увидим, как геометрия Черепашки вводит нас в мир интуитивно осознаваемых: исчисления, физики, математического моделирования, используемого в биологических и социальных науках.

Рис. 8


Занятия геометрией Черепашки сказываются и на некоторых компонентах занятий школьной математикой, прежде всего на рациональной и аффективной сферах деятельности детей. Многие из них появлялись в нашей лаборатории ЛОГО, ненавидя числа и отвлеченные объекты, а уходили от нас, полюбив то и другое. В некоторых случаях работа с Черепашкой позволила большинству детей, считавшихся трудными, овладеть интуитивными моделями сложных математических понятий. Использование числа для измерения углов — простой пример тому. В ситуации с Черепашкой дети пользуются числовым измерением углов почти бессознательно. Любой из них, в том числе работавшие с нами несколько первоклассников и многие третьеклассники, из личного опыта знал, что означает 45°, 10° или 360°, и понимал, что за этим стоит, лучше большинства овладевших этими знаниями старшеклассников. А это значит, что работавшие с нами дети были подготовлены к восприятию таких предметов, как геометрия, тригонометрия, черчение и т. д., в которых понятие угла занимает центральное место. Но наши дети оказались подготовленными и к такому аспекту использования в нашем обществе измерения угла, к которому школьная математика обычно глуха.

В жизни современных американцев наибольшее распространение идея угла получила в навигации. Многие миллионы специалистов водят суда или самолеты, читают карты. Для большинства из них между их живой практической деятельностью и мертвой школьной математикой лежит непреодолимая пропасть. Мы уже указывали на тот факт, что использование Черепашки в качестве метафорического носителя идеи угла связывает эту идею с геометрией тела. Мы обозначили это как синтонность телу. Теперь мы столкнулись с синтонностью культуре: Черепашка объединяет идею угла с навигацией, деятельностью, прочно связываемой многими детьми с внешкольной культурой. И поскольку компьютеры продолжают распространяться в мире, синтонность культуре геометрии Черепашки будет становиться все более плодотворной.


РИСУЕМ СПИРАЛЬ

ВПЕРЕД 10

НАПРАВО 90

ВПЕРЕД 15

НАПРАВО 90

ВПЕРЕД 20

НАПРАВО 90

ВПЕРЕД 25

НАПРАВО 90

ВПЕРЕД 30

НАПРАВО 90

ВПЕРЕД 35

НАПРАВО 90

ВПЕРЕД 40

НАПРАВО 90

ВПЕРЕД 45

НАПРАВО 90

ВПЕРЕД 50

НАПРАВО 90

ВПЕРЕД 55

НАПРАВО 90

ВПЕРЕД 60

НАПРАВО 90

НАПРАВО 65

НАПРАВО 90

и т.д.

РИСУЕМ РАСКРУЧИВАНИЕ

ВПЕРЕД 5

НАПРАВО 5

ВПЕРЕД 5

НАПРАВО 5*0,95

ВПЕРЕД 5

НАПРАВО 5*0,95*0,95

ВПЕРЕД 5

НАПРАВО 5*0,95*0,95

ВПЕРЕД 5

НАПРАВО 5*0,95*0,95*0,95

ВПЕРЕД 5

НАПРАВО 5*0,95*0,95*0,95*0,95

ВПЕРЕД 5

НАПРАВО 5*0,95*0,95*0,95*0,95*0,95

ВПЕРЕД 5

НАПРАВО 5*0,95*0,95* 0,95* 0,95*0,95*0,95

ВПЕРЕД 5

НАПРАВО 5*0,95*0,95*0,95*0,95*0,95*0,95*0,95

ВПЕРЕД 5

НАПРАВО 5*0,95*0,95*0,95*0,95* *0,95*0,95**0,95

ВПЕРЕД 5

и т д

Рис. 9. Как не рисуют спирали


Вторым ключевым математическим понятием, осознание которого облегчает использование Черепашки, является переменная. Идея переменной — это использование символа вместо неизвестной реалии. Чтобы разобраться, каким образом Черепашка помогает воспринять эту идею, мы трансформируем программу рисования Черепашкой круга в программу рисования ею спирали (см. рис. 8).

Рассмотрим для примера случай с раскручивающейся спиралью. Подобно кругу, она тоже может быть нарисована с помощью предписания: продвигаемся слегка вперед, слегка поворачиваем. Различие между этими двумя кривыми в том, что для круга это движение остается неизменным, а спираль распрямляется, становится «менее кривой» по мере того, как мы удаляемся от центра. Круг — это кривая с постоянной кривизной. Кривизна спирали по мере удаления от центра уменьшается. Чтобы пройтись по спирали, мы могли бы сделать шаг, затем повернуть, сделать шаг, затем повернуть, каждый раз делая поворот меньшим (или шаг большим). Чтобы перевести это на язык инструкции для Черепашки, вам необходимо найти средства выразить тот факт, что вы имеете дело с изменяющимся, переменным, количеством. В принципе вы могли бы описать свое движение в очень длинной программе (см. рис. 9), в которой для каждого шага Черепашки уточнялось бы, насколько она должна повернуть. Это утомительно. Гораздо удобнее воспользоваться понятием переменной, символическим обозначением — одной из самых плодотворных идей, когда-либо изобретавшихся математикой.

В языке «Разговор с Черепашкой» переменные являются средством общения. Мы хотим сказать Черепашке: «Иди вперед, сделав небольшой шаг, затем поверни немного, и я не сообщаю, насколько ты должна повернуть, поскольку каждый раз ты должна сделать разный поворот». Чтобы нарисовать квадратообразную спираль, мы должны сказать: «Иди вперед какое-то расстояние, оно всякий раз будет меняться, а затем поверни на 90°». На языке математики сказать нечто подобное можно, лишь обозначив «какое-то расстояние» или «поворот, о котором я не сообщаю, каков он». Обозначить можно буквой, скажем X, или словом, скажем УГОЛ или РАССТОЯНИЕ. (Одним из небольших вкладов компьютеров в математическую культуру является привычность при работе с этим устройством использовать для обозначения переменных мнемические слова, а не отдельные буквы.) Воспользовавшись в своей работе идеей переменной, мы можем написать на языке «Разговор с Черепашкой» «процедуру ввода». В напечатанном виде она будет выглядеть следующим образом:

ОСУЩЕСТВЛЯЕМ ШАГ РАССТОЯНИЕ

ВПЕРЕД РАССТОЯНИЕ

НАПРАВО 90

КОНЕЦ

Команда ШАГ 100 заставит Черепашку продвинуться на 100 единиц, а затем повернуть на 90°. Точно так же команда ШАГ ПО заставит продвинуться Черепашку на ПО единиц и затем повернуться на 90°. В среде обучения ЛОГО мы побуждаем детей прибегать к антропоморфным метафорам: команда ШАГ вызывает исполнителя («ШАГ» человека), работа которого состоит в переадресовке Черепашке двух команд — команды ВПЕРЕД и команды НАПРАВО. Но этот исполнитель не сможет выполнить своей работы, не зная меры, числа, которое он, получив при команде «ВПЕРЕД» от человека, должен передать Черепашке.

Рис. 10а


Рис. 10б


Процедура ШАГ в действительности не сильно отличается от обычных команд, но небольшие изменения она вносит. Сравним с ней процедуру СПИРАЛЬ, которая почти ничем не отличается от процедуры ШАГ, за исключением одной дополнительной строки:

РИСУЕМ СПИРАЛЬ РАССТОЯНИЕ

ВПЕРЕД РАССТОЯНИЕ

НАПРАВО 90

СПИРАЛЬ РАССТОЯНИЕ + 5

КОНЕЦ

Команда СПИРАЛЬ 100 вызывает исполнителя «СПИРАЛЬ» и задает исходную меру 100. После этого исполнитель «СПИРАЛЬ» передает три команды. Первая похожа на первую команду исполнителя «ШАГ»: Черепашке сообщается, что она должна продвинуться на 100 единиц вперед. Вторая команда также не содержит ничего нового: в ней сообщается, что Черепашка должна повернуть направо. Но третья содержит в себе нечто необычное. Это команда СПИРАЛЬ 105. Что она дает? Она сообщает Черепашке, что та должна продвинуться вперед на 105 единиц, а также она говорит, что после этого она должна повернуть направо на 90°, а затем передается команда СПИРАЛЬ 110. Таким образом мы получаем то, что называется «рекурсией», указывающей на никогда не кончающийся процесс, первые шаги которого приведены на рис. 10а.

Из всех идей, с которыми я познакомил детей, рекурсия вызывала у них особенно сильную реакцию. Я думаю, это происходило отчасти потому, что эта идея захватила детскую фантазию, а отчасти потому, что она уходит своими корнями в народную культуру. Например, рекурсия содержится в загадке: «Если у вас два желания, то что же будет вторым?» (Еще два желания.) И можно представить картину с этикеткой, а на этикетке изображена сама картина. Благодаря открывающимся богатым возможностям игры в бесконечность созвездие идей, содержащихся в процедуре СПИРАЛЬ, позволяет ребенку увидеть, на что может быть похожа математика. Еще одним аспектом живого математического опыта являются изображения на рис. 106, на которых видно, сколь занимательный математический феномен может возникнуть при варьировании угла в процедуре СПИРАЛЬ Углы, приближающиеся к 90°, как раз задают столь неожиданное явление, что невольно спрашиваешь себя: не запрограммировалась ли на самом деле спиралеподобная галактика? Подобные изображения приводили детей в состояние шока, и они часто проводили долгие часы за занятиями, в которых размышления над числами и геометрическими фигурами переплетались с эстетическими размышлениями.

В среде обучения ЛОГО новые идеи часто осваиваются как средство удовлетворения личной потребности сделать нечто, чего нельзя было сделать прежде. При традиционной установке обучения в школе учащегося сначала знакомят с понятием «переменная» на легких примерах, таких, как:

5 + х = 8. Что такое х?

Часть детей воспринимают такие примеры как личностно значимые, и еще меньшая часть детей усматривают в них метод решения, увеличивающий их возможности. Они, конечно, правы, но контекст их собственной жизни не очень-то подтверждает эту правоту. Когда ребенок сталкивается с системой ЛОГО, то ситуация резко меняется. Здесь у ребенка возникает личностная потребность — нарисовать спираль. В этом случае идея переменной является источником личных возможностей, возможности совершить нечто желанное, но недоступное без этой идеи. Конечно, многие дети, столкнувшись с понятием «переменная» в традиционной системе обучения, учатся использовать его эффективно. Но им редко удается уловить суть его «математических возможностей», не говоря уже о математической красоте и совершенстве этого понятия. И здесь-то мы и сталкиваемся с самым большим различием между идеей переменной, как она подается при традиционном школьном обучении, и тем, как она предстает в среде обучения ЛОГО. В ЛОГО понимание ребенком своих возможностей и его восприятие в математике того, что нравится в обычной культуре, заставляют ученика проделать нечто никогда прежде им не совершавшееся.

Если использовать переменную только для вычерчивания спирали, т. е. как частный, изолированный пример, иллюстрирующий «возможности математики», то мы могли бы говорить только о вероятной связи этого занятия с индивидуальными особенностями некоторых детей (как передаточные механизмы были связаны с какими-то моими особенностями). Но в геометрии Черепашки рисование спиралей не изолированный, а типичный пример того, как математические знания входят в жизнь ребенка. Можно сказать, что раскрытие возможностей математики становится способом жизни. Осознание возможностей связано не только с непосредственно используемым методом вычерчивания спирали, но и с использованием переменных для измерения углов, а также с такими понятиями, как «теорема», «доказательство», «эвристика» или «способ решения проблемы». Прибегая к таким понятиям, ребенок учится рассуждать на языке математики. И вот к этому-то освоению математического рассуждения мы теперь обратимся.

Посмотрим на ребенка, который уже научил Черепашку рисовать квадрат и круг и теперь хочет нарисовать равносторонний треугольник со стороной, равной 100 шагам Черепашки. Такая программа может иметь следующий вид:

РИСУЕМ ТРЕУГОЛЬНИК

ПОВТОРИТЬ 3

ВПЕРЕД 100

НАПРАВО СКОЛЬКО-ТО

КОНЕЦ

Но чтобы Черепашка нарисовала требующуюся фигуру, ребенку необходимо уточнить эту программу. Какое же количество имеется в виду под СКОЛЬКО-ТО? Для квадрата мы уже написали в инструкции, что Черепашка должна повернуться на 90° в каждой вершине квадрата, поэтому программа по его вычерчиванию выглядит следующим образом:

РИСУЕМ КВАДРАТ

ПОВТОРИТЬ 4

ВПЕРЕД 100

НАПРАВО 90

КОНЕЦ

Теперь мы сможем пронаблюдать, как совет Пойа «Найди нечто похожее» и главная процедура в геометрии Черепашки «Поиграй в Черепашку» срабатывают одновременно. Что сходного в квадрате с треугольником? Если, играя в Черепашку, прошагать «путь, который мы хотим, чтобы она проделала», то можно заметить, что в обоих случаях мы начинаем и заканчиваем свой путь в одной и той же точке. Иными словами, мы заканчиваем тем же состоянием, из какого начали свой путь. А пока мы его проделывали, то совершили полный оборот. Что же различает эти два случая? То, что в одном из них мы делаем три поворота, а в другом — четыре. Математическое содержание этой идеи настолько плодотворно, насколько оно просто. Самое главное в понятии замкнутого пути, сколько поворотов мы совершили.

Самое удивительное в таком пути, что все повороты в сумме всегда составляют 360°. Четыре поворота в 90° у квадрата равняются 360°, а значит, повороты, какие мы должны проделать в вершинах треугольника, должны равняться 360°, разделенным на три. Таким образом, количество, которое мы обозначили как СКОЛЬКО-ТО, на самом деле составляет 120°. Вот вам исходное рассуждение для формулировки «Теоремы о замкнутом пути Черепашки».

Если Черепашка продвигается по границе какого-либо участка и заканчивает свой путь в том же состоянии, в котором она начала его, то сумма всех ее поворотов составит 360°007.

Неотъемлемой частью понимания этой теоремы является освоение метода, позволяющего решать вполне определенный класс задач. Таким образом, данное знакомство ребенка с теоремой в нескольких отношениях отличается от заучивания аналитичной теоремы из евклидовой геометрии: «Сумма внутренних углов треугольника равняется 180°».

Во-первых (по крайней мере для языка программирования ЛОГО), теорема о замкнутом пути Черепашки более плодотворна: ребенок на самом деле может ею пользоваться. Во-вторых, она более обобщенна: она применима не только к треугольникам, но также и к квадратам и кривым. В-третьих, она более доступна: ее смысл легче ухватить. И наконец, она более личностна: вы можете «прошагать» эту теорему, и этот способ моделирования вырабатывает привычку связывать математику с собственными знаниями.

Мы видели, как дети пользовались теоремой о замкнутом пути Черепашки при вычерчивании равностороннего треугольника. Но можно также пронаблюдать, как эта теорема помогает им в создании не только таких простых программ, а гораздо более сложных, таких, как рисование приведенных на рис. 11 (см. с. 96—97) цветов. Очень важно предоставить детям возможность использовать теорему, а не заучивать ее Что значительное происходит с детьми, когда они растут, хорошо освоив некоторые весьма плодотворные теоремы и используя их в течение жизни как инструмент мышления? Кто-то при этом учится получать радость и испытывать гордость от раскрывающихся ему возможностей плодотворных идей. Кто-то начинает понимать, что наиболее плодотворной из всех является идея о плодотворных идеях.


Дальше (рис. 11) приводится гипотетический разговор двух детей, работающих и играющих с компьютером. Эти и подобные эксперименты могут происходить, да и происходят, каждый день.

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 11


... Начало

Следующая стадия разработки программы производит наиболее впечатляющие эффекты, поскольку птицы приходят в движение. Но книга не позволяет воспроизвести ни результаты такой программы, ни процесс ее разработки: неожиданные озарения, ошибки и математические открытия — все требует правильной передачи движения. Раздумывая над тем, как обойти это препятствие, я пришел к еще одному описанию того, что нового дает компьютер ребенку: возможность рисовать в движении на самом деле позволяет воспроизводить движение, так же как и линии, машинально и даже крайне небрежно. Вероятно, дети, поскольку они рисуют именно так, научатся думать более динамично.



001 Поскольку эта книга написана для читателей, которые могут и не знать математики, я по возможности стараюсь избегать специфически математических терминов. Приводимые ниже заметки искушенный в математике читатель может лишь бегло просмотреть.
Изоморфизм двух систем Черепашки - один из многих примеров современных математических идей, воплощаемых в геометрии Черепашки в конкретной и практичной форме. Среди этих идей понятие «исчисление» я считаю особенно важным.
Пример 1. Интегрирование. Геометрия Черепашки прокладывает дорогу к формированию понятия «линейный интеграл» благодаря часто встречающейся ситуации, когда Черепашка должна интегрировать некоторое количество в путь, который ей требуется пройти. Часто, впервые столкнувшись с этим, дети исходят из того, что Черепашке для выполнения намеченного маршрута необходимо поворачиваться и продвигаться вперед. Блестящей программой для Черепашки является подражание тропизму, поведению, побуждающему живые организмы двигаться к теплу, свету или к питательной среде. Тропизм можно представить как поле числовых функций положения в пространстве. Естественно поразмышлять над двумя алгоритмами интегрирования поля количеств в путь Черепашки. Простой вариант получается введением в программу единственной последовательности команд типа: НАЗЫВАЕМ (:ЦЕЛОЕ + ПОЛЕ) «ЦЕЛОЕ», означающих, что к какому-то количеству, обозначенному как ЦЕЛОЕ, прибавляется количество из ПОЛЯ, а полученный результат называется «ЦЕЛЫМ». В этом варианте содержится один просчет, ошибка: в нем не учитывается размер шага Черепашки который может оказаться или чересчур большим, или непостоянным. Когда учащийся сталкивается с этой проблемой, то, отлаживая программу, он приходит к более точному понятию интеграла.
Это раннее знакомство с простейшими примерами интегрирования как прохождения пути иллюстрирует распространенность явления, обратного тому, что, по всей видимости, соответствует «естественному» педагогическому порядку. В традиционных учебных программах интегрирование относится к современным разделам математики, и учащиеся начинают изучать этот раздел после нескольких лет размышлений над определенным интегралом как площади, ограниченной кривой. По-видимому, понятие кривой кажется более конкретным в математическом мире, использующем технологию карандаша и бумаги. Но следствием формирования неточных представлений об интегрировании является чувство недоумения, которое охватывает учащихся, когда они сталкиваются с интегралами, не поддающимися представлению их как площади, ограниченной кривой.
Пример 2. Дифференциальное уравнение. В «Черепашке с сенсорным устройством» (см. во «Введении» сноску 4) используется метод, возбуждающе действующий на многих детей. Типичным первым подходом к программированию Черепашки на обход объекта является измерение объекта и введение в программу

002 Если быть более точным, ребенок учится программировать вычерчивание окружности. Но в описываемых нами ситуациях различением круга и окружности можно пренебречь, и взрослые предпочитают пользоваться более привычным для ребенка термином «круг». В этом случае, давая ребенку совет «Поиграй в Черепашку», когда у того что-то не получается, им не приходится разъяснять, как ходят по окружности, ведь как ходить по кругу, ребенок прекрасно знает сам. - Примеч. ред.

003 Термин «синтонное «я» используется Фрейдом для описания инстинктов или представлений, приемлемых «я», т. е. совместимых с целостностью «я» и с его требованиями (см.: Laplanche J., Pontahs J.B. The Language of Psycho-Analysis, N. Y., 1973).

004 Polya G. How to Solve It Garden City, N. Y., 1954, его же. Induction and Analogy in Mathematics. Princeton, N. Y., 1954; его же Patterns of Plausible Inference. Princeton, N. Y., 1969. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения М., 1975; его же. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. М., 1976.

005 См. сноску на с. 68.

006 Обычные определения кривизны выглядят более сложными, но они эквивалентны приведенному. Таким образом, мы получили еще один пример «современного» понятия, представленного в удобной для понимания форме.

007 Если проделывались и левые, и правые повороты, то одни из них считаются отрицательными. «Граница какого-либо участка» - это иной способ формулировки понятия «простая замкнутая кривая». Если поворотам приписываются только положительные значения, то сумма поворотов должна быть кратной 360.