Глава 2

МАТОФОБИЯ: БОЯЗНЬ УЧЕНИЯ

Платон написал над входом в свой дом: «Только для геометров». Времена изменились. Большинство из тех, кто стремится теперь войти в мир платоновских идей, не ведают ни о математике, ни о смысле или по крайней мере о противоречии в их отношении к платоновскому предписанию. Шизофреническое раздвоение нашей культуры между «гуманитарными» и «естественными» науками сохраняет в тайне смысл этого предписания. Платон был философом, а значит гуманитарием, но он также был математиком, а значит естественником.

Этот водораздел отразился на нашем языке, на нашем взгляде на мир, на социальной организации нашего общества, на нашей системе образования, а совсем недавно даже на наших нейрофизиологических теориях. Он самовоспроизводится: чем резче наша культура распадается на две, тем независимее становится развитие каждой из сторон культуры.

Я уже говорил, что компьютер может стать той силой, которая уничтожает это разделение между «двумя культурами». Я знаю, что гуманитарий может усомниться в том, что «техника» способна изменить его представления о том, какого рода знание имеет отношение к его пониманию людей, а естественник не менее насторожен этим снижением уровня строгости из-за вторжения столь расплывчатого гуманитарного мышления. Мне думается, что само присутствие компьютера может насадить те семена, которые прорастут в менее разобщенную культурную эпистемологию.

Статус математики в современной культуре — один из самых показательных симптомов разобщенности этой культуры. Возникновение «гуманитарной» математики как такой, которая не воспринимается не относящейся к изучению человека и «гуманитарным наукам», может служить добрым знаком, что изменение близко. Итак, в этой книге я попытаюсь показать, как наличие компьютеров может приобщить детей к более гуманитарным, а также и более гуманным отношениям с математикой. Поступая так, я не буду рассуждать о математике, а расскажу о новых возможностях в ее изучении.

Нет ничего необычного, что интеллигентный взрослый человек превращается в пассивного наблюдателя собственной некомпетентности, как только дело доходит до элементарной математики. Индивиды усматривают только непосредственные следствия из такого интеллектуального паралича, а именно профессиональные ограничения. Но, помимо этого, прямые и вторичные следствия имеют более серьезное значение. Один из основных уроков, который выносят большинство людей, изучая математику в целом, это абсолютная недоступность смысла этой науки. Они твердо убеждены, что человеческие знания представляют нечто вроде лоскутного одеяла, отдельные кусочки которого разделены непроницаемым железным занавесом. Свою задачу я усматриваю не том, чтобы посягнуть на суверенность отдельных областей интеллектуальных знаний, а в том, чтобы сделать более свободным переход из одной области в другую. Я не собираюсь сводить математику к литературе, а литературу к математике. Но я постараюсь доказать, что соответствующие этим наукам способы мышления не столь различны между собой, как это обычно предполагается. Я воспользуюсь образом Матландии, страны, в которой математики говорят на естественном языке, чтобы развить мою идею о том, что присутствие компьютера поможет объединить гуманитарную и математическую культуры. В этой книге Матландия — это только первый шаг в системе рассуждений о том, как присутствие компьютера может изменить не только способ обучения детей математике, но и значительно более фундаментальные вещи, а именно тот способ, каким мы осмысляем в нашей культуре знания, и учение.

Мое ухо различает в слове «матофобия» две связи. Одна из них относится к широко распространенной боязни математики, которая часто по своей интенсивности достигает уровня настоящей фобии. Другая указывает на значение основы «мат». По-гречески она означает «учение» в самом широком смысле этого слова001. В нашей культуре боязнь учения менее распространена (хотя более часто она носит неявный характер), чем боязнь математики Дети начинают свою жизнь как увлеченные и умелые ученики. Они вынуждены учиться тому, что учение в целом и учение математике в частности может быть неприятным. В обоих значениях основы «мат» происходит сдвиг от матофилии к матофобии, от влюбленности в математику и учебу к боязни того и другого. Мы проследим, как этот сдвиг происходит, и проанализируем идею о том, как присутствие компьютера может препятствовать такому сдвигу. Давайте поразмышляем о том, что значит нравится учиться как ребенку.

Многое из того, чему учатся дети, большинству людей кажется столь очевидным, что они не видят в этом ничего особенного. Областью, в которой почти всему учатся, несомненно, является освоение слов родного языка. В два года лишь очень немногие Дети знают больше нескольких сотен слов, однако к тому времени, когда они поступают в первый класс, т. е. четыре года спустя, все они знают тысячи слов. Очевидно, каждый день они усваивали много новых слов.

Конечно, нам нетрудно заметить, что дети учат слова, но нам не так легко понять, что точно так же или даже в еще большей степени они учатся математике. Но это как раз то, что удалось показать Пиаже, посвятившему свою жизнь изучению генезиса знаний у детей. Одним из наиболее тонких следствий из его наблюдений было открытие, что взрослые не умеют оценить степень и характер того, чему учатся дети, поскольку освоенные нами структуры знаний делают нас нечувствительными к их учению. Наиболее четко это видно на примере того, что Пиаже называл принципом «сохранения» (см. рис. 2).

2 единицы 2 единицы 1 единица

Рис. 2. Сохранение жидкости

Для взрослого очевидно, что переливание жидкости из одного стакана в другой не меняет ее объема (за исключением того факта, что какие-то капли могут попасть мимо, а какие-то остаться в стакане, из которого льют). Сохранение объема столь очевидно, что, по-видимому, до Пиаже никому не приходило в голову, что для четырехлетних детей это совсем не так очевидно002. Прежде чем у детей разовьется «консервационистский» взгляд на мир, т.е. прежде чем они научатся учитывать принцип сохранения, им необходимо существенно вырасти в интеллектуальном отношении. Сохранение объема только один из многих примеров принципа сохранения, который осваивают дети. Еще одним таким примером являются числа. Опять-таки большинство взрослых не осознают, что ребенок должен научиться считать совокупности объектов, по-разному упорядочивая их, чтобы у него стал получаться один и тот же результат. Для взрослых счет — это просто способ определения, как много объектов имеется где-то. Результат этой операции — «объективный», независимый от самого счета, факт. Но отделение результата от счета (продукта от процесса) связано с эпистемологическими допущениями, которые не только не известны детям с «доконсервационистским» взглядом на мир, они чужды этому взгляду. Эти-то «консервационистские» допущения и составляют часть из обширной структуры тех «скрытых» математических знаний, которые усваиваются детьми сами собой. В интуитивной геометрии детей 4 — 5 лет прямая линия не самое короткое расстояние между двумя точками, поскольку, двигаясь пешком между тем-то и тем-то, нет необходимости искать более короткий путь, если можно просто быстрее идти. В этом случае мы также сталкиваемся не с пробелом в знаниях, а с эпистемологическим допущением, с идеей «самого короткого» пути как такового, а не способа его прохождения.

Не следует трактовать подобные явления как простое отсутствие знаний у определенной части детей. Пиаже показал нам, как дети создают собственные и абсолютно логичные теории о том, что такое мир. Эти спонтанно осваиваемые всеми детьми теории включают хорошо разработанные и вполне математические компоненты, хотя они и выражают какую-то иную математику, чем обычно принимаемая в нашей (взрослой) культуре. Процесс скрытого учения имеет по крайней мере две фазы. Еще в дошкольные годы любой ребенок сначала создает одну или более «довзрослых» теорий о том, что есть мир, а затем у него начинают развиваться взгляды, более близкие к представлениям взрослых. И все это происходит через то, что я называю учением по Пиаже, через процесс, многие особенности которого у школы должны вызывать зависть. Этот процесс эффективен (доступен всем детям), недорог (поскольку не требует ни учителей, ни программ развития) и гуманен (поскольку все дети, по-видимому, овладевают им без принуждения и беззаботно, без явных наград или наказаний).

Степень, в какой установки взрослых их нашего общества отличаются от позитивных установок детей на учение, меняется в зависимости от индивида. Неизвестно, какую, но вполне значимую часть населения составляют люди, почти полностью отказавшиеся от учения. Эти люди редко дают себя увлечь, если вообще вовлекаются, в процесс сознательного учения, поскольку или считают себя неспособными, или не хотят заниматься тем, что не доставляет им радости. Социальная и личностная плата за это весьма разнообразна; скажем, матофобия может культурно и материально затруднить жизнь людей. Достаточно найдется людей, которые не отказались от учения как такового, но им мешают негативные представления о собственных способностях, отсутствие какого-либо умения обычно отождествляется с тем, что: «Я не могу выучить французский, ведь у меня нет слуха»; «Я никогда не стану бизнесменом, ведь моя голова не создана для продумывания различных комбинаций»; «Я никогда не сделаю виса при катании на параллельных лыжах, ведь у меня плохая координация». Эти фразы, часто повторяемые чисто ритуально, превращаются в предрассудок. И как всякий предрассудок, они создают мир табу, в данном случае табу на учение. В этой и следующей главе мы разберем эксперименты, которые продемонстрируют нам насколько часто представления о себе сочетаются с весьма ограниченным представлением о реальности, обычно с представлением человека о «школьной реальности». В оказывающей эмоциональное и интеллектуальное воздействие учебной среде человек «с плохой координацией» может овладеть цирковым искусством не хуже жонглера, а считающий, что его «голова не создана для продумывания различных комбинаций», может научиться не только творить математику, но и получать от этого радость.

Хотя подобное негативное представление о себе можно преодолеть, в реальной жизни индивида оно предельно устойчиво и сильно самоподкрепляется. Если люди убеждены, что математика им не дается, они обычно успешно уклоняются от всего, что хоть как-то напоминает им занятия математикой. Следствием такого самосаботажа является личная неудача, а каждая такая неудача только подкрепляет первоначальное представление о своих способностях. И такие представления кажутся естественными, когда их придерживаются не только конкретные люди, но и вся наша культура.

Дети нередко вырастают в культуре, в которой циркулирует идея о «сильных» и «слабых» людях. За социальность индивида принимается нечто вроде набора способностей. Одни люди — «хорошие математики», другие — «плохие математики». Все это заставляет детей приписывать неудачи в учении или нежелание учиться своей неспособности. В результате дети воспринимают неудачу как свидетельство их причастности к группе «слабых» людей, или, что более распространено, к группе «слабых в чем-то» людей (за что «в чем-то» часто принимается математика). Внутри этой системы понятий дети начинают относиться к себе как к не способным к чему-то, и это их отношение закрепляется и подкрепляется всей их дальнейшей жизнью. Исключительно редко какое-то неожиданное событие заставляет людей пересмотреть свои представления о собственных интеллектуальных способностях, и им открываются новые горизонты в том, чему они могут научиться.

Это представление о человеческих способностях нелегко развеять. С популярными убеждениями никогда не удавалось легко разделаться. Но в данном случае трудности усугубляются дополнительными факторами. Прежде всего, популярные теории о человеческих способностях поддерживаются «учеными» людьми. Затем психологи говорят об измерении способностей. Но значимость того, что измеряется, значительно снижается, если мы проделаем простой мысленный эксперимент003 в Матландии.

Хотя такой эксперимент оставляет открытым вопрос о том, как такая Матландия может быть воспроизведена в реальном мире, он абсолютно строго показывает, что принятые представления о математических способностях никак не следуют из имеющихся на этот счет данных. Но поскольку подлинная матофобия читателей может отвратить их от эксперимента, я подкреплю свои рассуждения, представив их в другой форме. Вообразим, что детей, прежде чем им разрешить танцевать на самом деле, заставляют 1 час в день рисовать на разграфленной бумаге фигуры танца и сдать тест на знание этих «фигур». Не следует ли нам ожидать, что мир наполнится «танцофобами»? Не станем ли мы говорить, что те, кто добрался до бальных танцев под музыку, очень «одаренные танцоры»? На мой взгляд, это очень похоже на те заключения, которые мы делаем о математических способностях детей, не желающих проводить многие и многие часы, вычисляя суммы.

Можно надеяться, что если бы мы перешли от иносказания к более строгим методам психологии, то получили бы более «солидные» данные по проблеме истинных предельных возможностей индивидов. Но это не так. Парадигмой для использования современной педагогической психология являются исследования, сосредоточивающие внимание на том, как дети учатся или (что более обычно) не учатся математике в той Антиматландии, в которой мы все живем. Направленность таких исследований хорошо передает следующий пример.

Представим, что некто, живущий в XIX веке, решил усовершенствовать способы передвижения Его убедили в том, что поиск новых способов не следует начинать без глубокого понимания соответствующих проблем В таком случае этот человек начинает с изучения различий в конных экипажах Он тщательно опишет все наиболее совершенные способы изменения скорости в зависимости от формы и материала различных типов осей, опорных приспособлений и упряжи.

Теперь мы знаем, что путь, по которому стали развиваться в XIX веке средства передвижения, оказался иным. Изобретение автомобиля и аэроплана не было связано с тщательным изучением того, как работают или почему не работают их предшественники — конные экипажи. Хотя пока такое изучение и есть модель современного педагогического исследования. Стандартные образцы для такого исследования ищутся в реальном классе или во внешкольной культуре как главном объекте изучения. Существует немало работ о бедности математических или естественнонаучных представлений у учащихся, оканчивающих школу в наши дни. Достаточно распространены «гуманистические» рассуждения о том, что «хорошая» педагогика должна принимать эти бедные способы мышления за свои отправные точки. Легко проникнуться симпатией к столь гуманным намерениям. Тем не менее, я думаю, что такая стратегия означает обязательство сохранить традиционную систему обучения. Она ничем не отличается от совершенствования осей у конных экипажей, тогда как реальной проблемой является, так сказать, изобретение «педагогического автомобиля». Поскольку эта проблема (центральная для данной книги) не решается средствами педагогической психологии, мы должны констатировать, что наши представления о способностях покоятся на весьма шатких «научных» основаниях. Но эти представления работают в школах, в системах тестирования и в критериях приема в колледжи, а значит, социальная основа у таких представлений столь же прочна, сколь слаба научная.

Начиная с детского сада у детей проверяются их вербальные и арифметические способности как «реальные» и самостоятельные сущности. Результаты такой проверки входят в социальную характеристику ребенка как набор способностей. Как только Джонни и его педагог заподозрят в нем «хорошего» художника и «плохого» математика, это восприятие само начнет прокладывать себе дорогу. Многое из того, как это происходит, известно современной педагогической психологии. Но есть более глубинные аспекты того, как школа конструирует способности. Разберем случай с ребенком, которого я наблюдал на восьмой и девятый год его жизни. Джим был крайне вербализованным и матофобным ребенком из интеллигентной семьи. Его любовь к словам и разговору проявилась очень рано, задолго до поступления в школу. Матофобия развилась в школе. По моей теории, она была прямым следствием его вербальной незрелости. Я узнал от его родителей, что у Джима очень рано развилась привычка проговаривать, часто вслух, чем бы он ни занимался, как он это делает. Эта привычка вызвала незначительные трудности в общении с родителями и воспитателями детского сада. Но она превратилась в настоящую помеху, когда он стал заниматься в классе арифметикой. К этому времени он научился контролировать свои проговаривания вслух, но я уверен, что его привычка к внутреннему комментированию своих действий только укрепилась. Занятия математикой поставили его в тупик: он просто не знал, как говорить о вычислениях. В его словаре отсутствовали нужные слова для описания того, как большинство из нас делает подсчеты, и у него не было понимания цели. Из фрустрации, вызванной его вербальными привычками, выросло отвращение к математике, а это отвращение было позднее зафиксировано тестами как «слабые математические способности». У меня эта история вызывает горечь. Меня убедили, что воспринимаемое как интеллектуальный недостаток очень часто вырастает, как в случае с Джимом, из интеллектуальных достоинств. И не только вербальная сфера подчиняет себе другие. Любое внимательное наблюдение за детьми может выявить сходные процессы, идущие в других направлениях. Например, ребенка, увлекшегося логичной упорядоченностью, могут раздражать английское произношение и написание слов, и это приведет к тому, что у него разовьется глобальная нелюбовь к письму. При описании Матландии показывается, как пользоваться компьютерами, чтобы Джим и его дислексийный антипод смогли избежать подобной ситуации. Оба ребенка — жертвы жесткого разграничения в нашей культуре вербальных и математических способностей. В Матландии, которая описывается в этой главе, любовь Джима к языку и его лингвистические навыки можно использовать для математического развития этого мальчика, а не противопоставлять одни способности другим, в то время как пристрастие другого ребенка к логичности может послужить развитию у него интереса к лингвистике.

Понятие о мобилизации разнообразных возможностей ребенка для развития всех областей интеллектуальной деятельности одновременно является ответом на предположение, что различные способности являются отражением реальных различий в развитии мозга. Стало общим местом рассуждать так, будто одни области мозга или отдельные его доли ответственны за математику, а другие — за лингвистику. Согласно этому способу рассуждений, дети разделяются на вербально и математически способных в зависимости от того, какие области мозга у них сильнее развиты. Но этот логический ход от анатомии интеллекта предполагает множество эпистемологических допущений. Предполагается, например, что имеется только один путь «продвижения» в математике и этот путь проходит через школьную математику. Но даже если дальнейшие исследования биологии мозга подтвердят, что этот путь определяется анатомическим строением областей мозга, которые могут отсутствовать у некоторых детей, из этого не следует, что математика сама по себе зависит от этих областей. Скорее, из этого следует, что нам необходимо искать обходные пути. Поскольку в этой книге доказывается, что альтернативные пути существуют, то в ней можно прочесть, как зависимость функции от мозга сама по себе превращается в социальный конструкт.

Давайте допустим ради простоты рассуждений, что в мозге существует особая область, предназначенная для тех умственных манипуляций с числами, которым мы обучаем детей в школе, назовем эту область MOM (механизм освоения математики004). Это допущение могло бы означать, что в ходе истории человечество выработало такие методы занятий арифметикой и обучения ей, которые наиболее соответствуют MOM. И если эти методы и срабатывали бы в случае большинства людей и до тех пор, пока общество рассматривалось бы как целое, они терпели бы полный провал в случае индивидов, MOM которых оказался бы поврежденным или отключенным по каким-то причинам (возможно, невротического характера). Такие индивиды не смогли бы учиться в школе и были бы диагностированы как страдающие «неспособностью к счету». И до тех пор, пока мы будем упорствовать, заставляя детей учить арифметику традиционным путем, мы будем получать «подтверждение» с помощью объективных тестов, что эти дети действительно не способны к «занятиям арифметикой». Но такого рода «подтверждения» напоминают доказательство неспособности глухих детей выучиться говорить, поскольку они не слышат. Точно так же, как язык жестов, использующий способность таких детей видеть и двигать руками, позволяет обойти трудности, вызванные дефектами в развитии у них обычных органов речи, точно так же можно найти альтернативные пути в занятии математикой, которые могли бы стать не менее добротными, чем обычно используемые способы.

Но нам нет необходимости прибегать к неврологии, чтобы объяснить, почему некоторые дети оказываются невосприимчивыми к математике. Аналогия с обучением танцам без музыки и без выполнения соответствующих движений здесь более уместна. Наша педагогическая культура не обеспечивает изучающих математику необходимыми материалами, чтобы тем раскрылся смысл изучаемого ими. В результате наши дети тратят свои силы, следуя наихудшей из моделей изучения математики. Это модель механического заучивания, когда материал воспринимается как лишенный смысла; иными словами, это модель, лишенная ассоциаций. Некоторые из наших трудностей в обучении более интегрированной с культурой математике вызваны объективными вещами. До появления компьютеров существовало лишь очень немного способов выявления связи между наиболее фундаментальным и привлекательным в математике и тем, что прочно внедрилось в повседневной жизни. Но компьютер — это говорящее на языке математиков устройство, — став обыденным предметом в доме, в школе, на работе, в состоянии выявить эти связи. Педагогика обязана найти способы использовать эти его свойства в своих интересах.

Математика, разумеется, не единственный пример учения, лишенного ассоциативных связей. Она просто очень хороший пример той причины, по которой многие читатели, вероятно, теперь захотят, чтобы я поговорил о чем-нибудь еще. Наша культура настолько поражена матофобией, боязнью математики, что если бы я сумел показать, как компьютер может сформировать у нас новое отношение к математике, то у меня появились бы серьезные основания заявлять, что компьютер способен изменить наше отношение к другим видам учения, которых мы можем бояться. Пребывание в Матландии, во время которого начинается «математический разговор», позволяет индивиду ощутить свободу в выполнении различных вещей, до того казавшихся ему «слишком трудными». В этом смысле приобщение к компьютеру открывает освоение знаний людьми не инструментально, не через информирование, а через раскрытие некоторых навязанных представлений о них самих.

Связанную с компьютером Матландию я намерен превратить в род естественного учения по Пиаже, при котором изучение математики происходит так же, как изучение родного языка. Учение по Пиаже обычно вовлечено в другие виды деятельности. Например, ребенку не отводится специальное время, когда он «учится разговаривать». Такая модель учения противоположна учению, лишенному ассоциаций, поскольку последнее осуществляется относительно изолированно от других видов умственной и физической деятельности. В нашей культуре изучение математики в школе — образец учения, лишенного ассоциаций. Большинство людей к обучению математике относятся как к приему лекарства. Такая лишенная ассоциаций систематика весьма напоминает карикатурное извращение дурной привычности нашей культуры к эпистемологической разобщенности, разделенности. В среде обучения ЛОГО мы стираем грани, любая Деятельность на компьютере одновременно является и «изучением математики».

Проблема превращения математики в наполненное смыслом Учение затрагивает более общую проблему наполнения смыслом языка «формальных описаний». Прежде чем заняться примерами того, как компьютер помогает осмыслить математику, мы разберем несколько примеров того, как компьютер помогает осмыслить язык формальных описаний в областях знаний, которые люди обычно считают не связанными с математикой. Наш первый пример взят из грамматики, для большинства людей этот предмет не намного приятнее математики.

БЕЗУМНЫЙ ОПАЗДЫВАЮЩИЙ ДЕЛАЕТ, ПОТОМУ ЧТО

МИЛЫЙ ЛЮБОПЫТНЫЙ КРИЧИТ

ВОЗБУЖДЕННЫЙ ВОЛК ЛЮБИТ, ВОТ ПОЧЕМУ

ВОЗБУЖДЕННАЯ ВОЛЧИЦА БОИТСЯ

УРОДЛИВЫЙ МУЖЧИНА ЛЮБИТ, ПОТОМУ ЧТО

УРОДЛИВАЯ СОБАКА БОИТСЯ

СУМАСШЕДШИЙ ВОЛК БОИТСЯ, ПОТОМУ ЧТО

БЕШЕНЫЙ ВОЛК СКАЧЕТ

ВОЗБУЖДЕННЫЙ ОПАЗДЫВАЮЩИЙ КРИЧИТ, ВОТ

ПОЧЕМУ ВОЗБУЖДЕННЫЙ ОПАЗДЫВАЮЩИЙ БОИТСЯ

ТОЩИЙ ЛЮБОПЫТНЫЙ БЕЖИТ, ПОТОМУ ЧТО

ТОЛСТЫЙ ВОЛК КОВЫЛЯЕТ

МИЛЫЙ ТУМАНИНИ СКАЧЕТ, ТОЛСТАЯ ВОЛЧИЦА

БЕЖИТ

Рис. 3. «Компьютерная поэзия» Дженни


В течение одного учебного года в группе «средних» учеников VII класса работал мощный компьютер и дети могли создавать на нем то, что они назвали «компьютерной поэзией». С помощью соответствующей программы они могли строить предложения. Они заложили в компьютер синтаксическую структуру, в соответствии с которой производился случайный выбор из данного перечня слов. Результаты такого рода «компьютерной поэзии» приводятся на рис. 3. Одна из учениц, 13-летняя Дженни, была глубоко возмущена тем, кого отобрали для работы по компьютерной программе, и в первый же день работы на компьютере спросила: «Почему выбрали именно нас? У нас же нет мозгов». Для своей работы мы сознательно выбирали «среднеуспевающих» учеников школы. Однажды Дженни пришла взволнованная. Она сделала открытие. «Теперь я знаю, зачем нам нужны существительные и глаголы», — сказала она. Много лет учась в школе, Дженни зубрила, что такое части речи, но так и не поняла разницы между существительными, глаголами и наречиями. Теперь стало ясно, что ее трудности с грамматикой не были вызваны ее неспособностью работать с логическими категориями. Они были чем-то другим. Она просто не понимала, зачем нужно вводить эти категории. Она была не в состоянии понять, что смысл грамматики не в ней самой, а для чего она. А когда она спрашивала, зачем нужна грамматика, то объяснения, которые ей давали учителя, казались ей простым мошенничеством. Ей говорили, будто «грамматика помогает лучше говорить».

На самом деле, чтобы проследить связь между изучением грамматики и улучшением речи, требуется более отстраненный взгляд на сложный процесс овладения языком, чем тот, какой был у Дженни в том возрасте, когда она впервые столкнулась с грамматикой. Она, конечно, не видела, каким образом грамматика может помочь ей лучше говорить, она вообще не думала, что ее речь нуждается в улучшении. А значит, она научилась относиться к грамматике с недоверием. И, как это бывает в большинстве случаев, недоверие породило неудачу. Но, как только она попыталась научить компьютер сочинять нечто поэтическое, произошла знаменательная вещь. Ей пришлось распределить слова по частям речи, но не потому, что ее просили об этом, а потому, что без этого у него ничего не получалось. Чтобы «обучить» свой компьютер правильно (как это принято в английском языке) расставлять слова, она должна была «обучить» машину различать, к какой части речи относится слово. То, что стало ясным для Дженни после ее опыта работы на машине, не было шаблонно, и механически усвоенным знанием. Ее учение стало глубоким и осмысленным. Дженни не просто выучила определения конкретных грамматических понятий. Она поняла общую идею, что слова (наподобие вещей) образуют различные группы или множества и что распределение по таким группам может потребоваться при выполнении определенной работы. Она не просто «постигла» грамматику, она изменила отношение к ней. Это было «ее открытие», и подобные этому инциденты, происходившие в течение года работы Дженни на компьютере, изменили ее представление о себе. Ее успеваемость также улучшилась: от успехов ниже средних она к концу учебного года приблизилась к отличным. Она наконец-то поняла, что у нее есть мозги.

Нетрудно увидеть, почему математика и грамматика утрачивают для детей смысл, как только им не удается связать эти науки с чем-то, что окружает их, и почему, чтобы помочь детям увидеть этот смысл, требуется делать нечто большее, чем делают учителя, рассуждая о правильной речи и рисуя на доске верные диаграммы. Я спрашивал многих учителей и родителей: что они думают о математике и почему важно ее изучить? Немногие из них придерживались того взгляда, из которого было ясно, почему на занятие этой наукой отводятся сотни часов детской жизни, а дети чувствуют это. Когда преподаватель рассказывает своим ученикам, что многие часы занятий арифметикой помогут им проверить сдачу, полученную в магазине, то ему просто не верят. Дети относятся к подобным рассуждениям как к еще одному примеру неискренности речей взрослых. Тот же эффект производят на детей сообщения о том, что школьная математика — это интересно, поскольку они абсолютно уверены, что говорящие так учителя проводят свое свободное время за чем угодно, но не за якобы увлекательным занятием математикой. Не помогают и разговоры о том, что математика нужна, чтобы стать Ученым, поскольку большинство детей строят другие планы. Зато дети могут наблюдать, как не любящие математику учителя занимаются ею просто потому, что так предписано школьной программой. Все это разрушает доверие детей к миру взрослых и к процессу обучения. И, как мне кажется, такие разговоры придают педагогическим отношениям оттенок недоверия.

Дети воспринимают разглагольствования школы о математике как неискренний разговор. Чтобы изменить эту ситуацию, мы, прежде всего, должны признать, что восприятие детьми наших рассуждений по сути своей правильно. Тот род математики, который навязывается детям школой, бессмыслен, скучен и крайне беспомощен. Это не означает, что для конкретных детей эта математика не может стать значимой и доставляющей удовольствие игрой. Для одних из таких детей игрой становится получение отметок; для других — умение перехитрить учителя или систему обучения. Многим в школьной математике нравятся повторения именно потому, что они не требуют размышлений, не будят ассоциаций и позволяют отвлечься от происходящего в классе. Все это только доказывает искренность детей. Не оправдывает школьную математику даже то, что, вопреки присущей ей тупости, творчески настроенные дети находят ее увлекательной и полной смысла.

Важно помнить о разнице между математикой — широкой областью исследований, о красоте которой почти не подозревают большинство нематематиков, — и чем-то, что я называю школьной математикой.

Я понимаю школьную математику как социальный конструкт, наподобие ЦУКЕНа. Множество исторических прецедентов (которые мы еще обсудим) предопределили выбор тех или иных разделов математики в качестве необходимого багажа знаний, которыми должны владеть граждане. Подобно упорядочиванию клавиш на пишущей машинке по типу ЦУКЕН, школьная математика проделала нечто в этом роде с историческим контекстом. И подобно ЦУКЕН, эта математика утвердилась настолько успешно, что люди считают ее чем-то само собой разумеющимся и занимаются рациональным обоснованием исторически сложившегося положения в ней. На самом деле для большинства людей нашей культуры совершенно непостижимо, что школьная математика может быть иной. Она — единственная математика, с которой они знакомы. Чтобы разорвать этот порочный круг, я собираюсь повести читателя в новую область математики — геометрию Черепашки, которую мои коллеги и я создавали как более удобный, более осмысленный первый подход к формальной математике для детей. В разработке критериев для геометрии Черепашки легче всего разобраться, взглянув более пристально на исторические обстоятельства, придавшие школьной математике ту форму, в которой мы теперь ее изучаем.

Некоторые из этих обстоятельств носили прагматический характер. До электронных калькуляторов практически было необходимо, чтобы многие люди оказались бы «запрограммированными» на точное и быстрое выполнение таких операций, как деление. Но теперь, когда калькуляторы столь дешевы, мы должны признать, что нет необходимости тратить несколько сотен часов жизни каждого ребенка, чтобы тот научился подобным арифметическим операциям. Я не собираюсь отрицать интеллектуальной значимости некоторых, а на самом деле большинства знаний о числах. Я от этого далек. Но теперь мы должны отобрать эти знания на последовательных, рациональных основаниях. Мы должны освободиться от тирании предрассудков, прагматистских подходов прошлого, которые навязывают нам выбор того, что и в каком возрасте необходимо изучать.

Однако полезность — это только одна из исторических причин, породивших школьную математику. Другие причины по своей природе — матетические. Матетика — это совокупность принципов, которым подчиняется учение. Некоторые из исторических причин школьной математики обусловлены тем, что она изучалась и ей обучали в докомпьютерную эпоху. Насколько я понимаю, основным фактором, повлиявшим на выбор того, что из математики должно войти в школьную математику, были дидактические возможности классной комнаты, в которой использовались столь примитивные средства, какими являются бумага и карандаш. Скажем, с помощью бумаги и карандаша дети могут нарисовать график. Это определило решение, что дети должны рисовать много графиков. Те же обстоятельства повлияли на то, что выделялось в том или ином типе геометрии. Например, в школьной математике аналитическая геометрия стала синонимом представления кривых через уравнения. В результате любой образованный человек с той или иной степенью нерешительности припомнит, что у = х2 — это уравнение параболы. И хотя большинство родителей плохо понимают, почему они должны это знать, они приходят в негодование, когда их дети не хотят осваивать подобные знания. Они считают, что должны быть глубокие и объективные причины, о которых знают те, кто лучше разбирается в подобных вещах. По иронии судьбы именно матофобия удерживает большинство людей от попытки разобраться в этих более глубоких причинах и не полагаться на милость самозваных специалистов по математике. Очень немногие люди подозревают, что причины, по которым что-то включается или не включается в школьную математику, — чисто технического свойства, например возможность нарисовать параболу с помощью карандаша! Это как раз то, что должно быть решительно изменено в обогащенном компьютерами мире, ведь область легко воспроизводимых математических построений резко расширилась.

Еще одним фактором, математическим по своей природе, является способ построения школьной математики по степени трудности. Когда мы осваиваем живую речь, у нас не возникает необходимости анализировать и ранжировать каждое предложение. Мертвый язык требует постоянной обратной связи с учителем. Деятельность, известная как «решение примеров», выполняет в школьной математике функцию обратной связи. Эти бессмысленные небольшие повторяющиеся упражнения имеют лишь одно преимущество — их легко ранжировать. Именно это преимущество привело к тому, что «решение примеров» твердо заняло центральное место в школьной математике. Короче, я утверждаю, что на построение школьной математики оказал сильное влияние способ обучения математике как «мертвому» предмету, когда использовались столь примитивные и пассивные средства, какими являются счетные палочки и песочные часы, мел и классная доска, бумага и карандаш. Результатом был интеллектуально непоследовательный набор разделов математики, в которых попраны наиболее важные элементарные матетические принципы: что делает некоторые материалы легкими для учения, а некоторые почти недоступными этому процессу.

Столкнувшись с этим грузом школьного образования, математическое просвещение может пойти по двум путям. При традиционном подходе школьная математика принимается как данность и борьба ведется за способы обучения ей. Некоторые педагоги именно с этой целью используют компьютеры. Парадоксально, но факт: при самом обычном использовании компьютеров в образовании продолжается насильственное насаждение трудно-усваиваемого материала, доставшегося в наследство от докомпьютерной эпохи. В геометрии Черепашки компьютер используется принципиально иначе. Он выступает в роли математически экспрессивного посредника, вовлекающего нас в разработку личностно значимых, интеллектуально последовательных и легко изучаемых разделов математики для детей. Вместо традиционной постановки педагогической проблемы «как учить сложившейся школьной математике» мы ставим вопрос о «перестройке математики», или, в более общей форме, вопрос о такой реконструкции знаний, при которой на обучение им не потребуются слишком большие усилия.

Любые «программы развития» могли бы быть представлены как «реконструкция знаний». Например, при реформе 60-х гг. в программе «Новая математика» была предпринята попытка изменить содержание школьного курса математики. Но попытка была робкой. Примеры, как были, так и остались, правда, сами примеры изменились. Фактически в новых примерах операции производились не над числами, а над множествами, но между арифметикой, основанной на двоичной системе счисления, и арифметикой, основанной на десятичной системе счисления, различие невелико. Более того, данная реформа математики не бросала вызова находчивости творческого математика и никогда не пробуждала даже искру волнения, которым отмечено творение новой мысли. Само по себе название «Новая математика» только вводило в заблуждение. В этой программе было не так уж много нового математического содержания. Она была обращена не на изобретение детьми математики, а всего лишь на процесс упрощения математики для математиков. Дети нуждаются в чем-то лучшем и заслуживают чего-то лучшего, чем выбор разделов из старой математики. Подобно одежде, передаваемой в семье от старших к младшим, в ней ребенок никогда не ощущает себя комфортно.

Геометрия Черепашки задумывалась для удобства детей. Главным критерием при ее создании была возможность присвоения знаний. Конечно, в эту геометрию необходимо было заложить и серьезное математическое содержание, но мы видели, что присвояемость и серьезность математического мышления не исключают друг друга. Напротив, разработав эту геометрию, мы поняли, что некоторые из наиболее индивидуальных знаний являются также и наиболее глубокими в математическом отношении. Во многих отношениях именно математика (скажем, математика пространства и движения как повторяемость составляющих действия) приходит к детям наиболее естественным путем. И именно такую математику мы положили в основу геометрии Черепашки. Только после того как мои коллеги и я пришли к этим идеям, мы получили некоторые принципы, которым должно отвечать понятие присвояемой математики. Первым из этих принципов был принцип непрерывности: математика должна составлять нечто непрерывное с хорошо упрочившимися индивидуальными знаниями, от которых она получает чувство теплоты и значимости, а равно «когнитивной» компетентности. Следующим принципом стал принцип возможностей: такая математика должна допускать выполнение учащимся личностно значимой для него программы, которую невозможно выполнить, не прибегая к математическим знаниям. И наконец, последним из принципов был принцип культурного резонанса: осваиваемые знания должны осмысляться в более широком социальном контексте. Я уже говорил, что геометрия Черепашки предназначена для детей. Но она не смогла бы по-настоящему служить детям, если бы не была принята взрослыми. Математика, предназначенная детям, не может быть чем-то, что мы навязываем им наподобие горького лекарства, хотя и не видим причин принимать его самим.


001 Первоначальное значение этой основы отражает слово «полимат» - «многознающий», «многоученый» Другое, менее известное слово с той же основой я использую в последующих главах: «матетик» - умеющий учиться.


002 Люди наблюдали детей достаточного долго. Сам факт, что им пришлось дожидаться Пиаже, чтобы тот рассказал, как думают дети и что взрослые забыли о том, как думали сами, когда были детьми, весьма примечателен, поскольку хорошо вписывается во фрейдовскую модель «когнитивного вытеснения».


003 «Мысленный эксперимент» играет важную роль в естественных науках, особенно в физике. Эти эксперименты могли бы побудить к более критичному отношению, если бы к ним чаще прибегали при размышлении об образовании.


004 В этом названии есть доля шутки. Читатель, не знакомый с работами Ноэма Хомского, может не уловить, в чем она состоит. Хомский был убежден, что у нас есть механизм освоения языка (МОЯ) (см.: Chomsky N. Reflections on Language N. Y., 1976). Я не вижу, чем MOM хуже МОЯ. С точки зрения Хомского, мозг состоит из специализированных нейрологических органов, которым соответствуют специфические интеллектуальные функции Мне кажется, что фундаментальный для будущего педагогики вопрос состоит в выяснении не того, чем является мозг - компьютером общего назначения или совокупностью специализированных компьютеров для каждого из органов, а того, существует ли одно однозначное соответствие между нашими интеллектуальными функциями и конкретными нейрологическими структурами

По-видимому, в мозге имеются многочисленные врожденные «механизмы», но. разумеется, они гораздо более примитивны, чем гипотетические MOM и МОЯ Я понимаю процесс усвоения языка или математики как упряжку, в которую в зависимости от цели впрягаются различные «механизмы», работа каждого из этих «механизмов» никак не напоминает те сложные интеллектуальные функции которым они призваны служить.